Sobre las sumas de Riemann evanescentes y las funciones Impares

Question

Sea $ f: [-1,1] \to \mathbb{R} $ sea una función continua. Supongamos que la $ n $ -ésimo punto medio Suma de Riemann de $ f $ desaparece para todo $ n \in \mathbb{N} $ . En otras palabras, $$ \forall n \in \mathbb{N}: \quad \mathcal{R}^{f}_{n} := \sum_{k=1}^{n} f \left( -1 + \frac{2k - 1}{n} \right) \cdot \frac{2}{n} = 0. $$ Pregunta: ¿Es necesariamente cierto que $ f $ ¿es una función impar?

Es fácil comprobar que si $ f $ es una función continua impar, entonces $ \mathcal{R}^{f}_{n} = 0 $ para todos $ n \in \mathbb{N} $ . Sin embargo, ¿es cierto lo contrario?

Esto forma parte de un problema de investigación original, por lo que, desgraciadamente, no hay más fuente que yo mismo. Con otra persona, me las arreglé para obtener el siguiente resultado parcial.

Teorema Si $ f $ es una función polinómica y $ \mathcal{R}^{f}_{n} = 0 $ para todos $ n \in \mathbb{N} $ entonces $ f $ sólo tiene poderes impar, lo que implica inmediatamente que $ f $ es una función impar.

La prueba se basa en propiedades de los polinomios de Bernoulli y las matrices de Vandermonde.

Para el caso general, estaba pensando que las herramientas analíticas de Fourier podrían ayudar, como la suma de Poisson. Un enfoque analítico de Fourier parece prometedor, pero tiene limitaciones y puede que no sea capaz de resolver completamente la cuestión.

¿Alguien puede ofrecer alguna pista sobre el problema? Gracias.

Answer 1

Tome la función $f(x)=\sum_{j\geq1} \alpha_j \cos(\pi j x)$ . Entonces su $n$ -ésimo punto medio La suma de Riemann es $$\begin{align} 0 = R_n f &= \sum_{j\geq1}\alpha_j \sum_{1\leq k\leq n}\frac{2}{n} \cos\left( \pi j\left( -1 + \frac{2k-1}{n}\right)\right) \\&= \frac{2}{n}\sum_{j\geq1}\alpha_j \sum_{1\leq k\leq n} (-1)^j\cos\left(\pi j(2k-1)/n\right) \\&= \frac{2}{n} \sum_{j\geq1} \alpha_j \frac{\sin \pi j}{\sin (\pi j/n)} \end{align}$$ donde (mediante Mathematica) $$ \sum_{1\leq k\leq n}\cos\frac{\pi j(2k-1)}{n} = \frac{\cos \pi j\sin \pi j}{\sin (\pi j/n)}$$ y cuando escribo $\sin \pi j/\sin(\pi j/n)$ Me refiero al límite como $j$ se aproxima a su valor entero (por lo que no hay división por cero).

Ahora, cuando $n=1$ la condición es $$ 0 = \sum_{j\geq1} \alpha_j $$ y cuando $n>1$ la condición es $$ 0 = \sum_{j\geq1} \alpha_j(-1)^{(j/n)}[n\backslash j]. $$

La condición $R_n f=0$ sólo es no trivial cuando hay $j$ tal que $n\backslash j$ y $\alpha_j\neq0$ . Supongamos que $\alpha_j\neq0$ sólo cuando $j$ es una potencia de 2, por lo que la función es $$ f(x) = \sum_{k\geq0} \beta_k \cos(\pi 2^k x). $$ Entonces el único $n$ que impongan condiciones a $\alpha_k$ son las potencias de 2.

Si $n=2^m$ , $m>0$ entonces la condición es $$ \beta_m - \beta_{m+1}-\beta_{m+2}-\cdots = 0, $$ y para $n=1$ la condición es $$ \sum_{k\geq0} \beta_k = 0. $$

Elige $\beta_0 = -1, \beta_k = 2^{-k}$ ( $k\geq1$ ). La condición para cada $n=2^m$ y también $n=1$ será satisfecha, la función $$ f(x) = -\cos\pi x+\sum_{k\geq1} 2^{-k} \cos(\pi 2^k x) $$ es claramente par y distinto de cero, y $R_nf=0$ para cada $n$ .

Si la serie de Fourier es finita, la función debe ser cero.