El radio espectral de $A$ y su transposición

Question

Deje $A$ ser un no-negativo irreductible $n\times n$ matriz. A continuación, la función $$f(t)=\rho(tA+(1-t)A^T)$$ es cada vez mayor en $[0,1/2]$, y es la disminución en el $[1/2,1]$.

Aquí están las notaciones.

1. $A$ es no negativo si cualquier entrada de $A$ es mayor que o igual a $0$.

2. $A$ es irreducible si $A$ no es reducible; y $A$ es reducible si existe una matriz de permutación $P$ tal que $$P^T AP=\begin{pmatrix} B&0\\ C&D\end{pmatrix},$$ or equivalently, there exists a permutation $\sigma$ of $\{1,2,\cdots,n\}$ and a $1\leq k\leq n-1$ such that the sub-matrix of $$ in rows $\sigma(1),\cdots,\sigma(k)$ and columns $\sigma(k+1),\cdots,\sigma(n)$ being $0$.

3. $A^T$ es la transpuesta de a $A$.

4. $\rho(A)$ es el radio espectral de $A$, es decir, el mayor módulo de los autovalores de a $A$.

Y ahora no tengo ninguna idea sobre ella. Sin embargo, es intuitivamente correcto. Como hay más de simetría de la matriz, el radio espectral se hace más grande.

Answer 1

$f(t)$ alcanzar máximo en $t=\frac12$. Sin embargo, no estoy tan seguro sobre la monotonía de $f$ $[0,\frac12]$ o $[\frac12,1]$.

Prueba. Como $A$ es no negativo e irreducible, así que es $B_t = tA+(1-t)A^T$. Que $u$ sea una unidad Perron vector propio $B_t$. De $u^TAu = (u^TAu)^T = u^TA^Tu$, obtenemos $$ \rho(B_t) = u ^ TBtu = u ^ TB {1/2} u $$ desde $B{1/2}$ es no negativo, irreducible y real simétrica, tenemos $\rho(B{1/2}) = \max{|v|=1}v^TB{1/2}v$. Por lo tanto, $\rho(Bt)\le\rho(B{1/2})$.