Estoy desconcertado con un aparentemente sencillo problema. Supongamos que tenemos la siguiente integral:
\begin{equation} f(a)\,=\,\int_{0}^{\infty} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x}, \end{equation} y queremos determinar la dependencia de la $f(a)$ $a$ al $a\ll 1$. Al parecer, esta integral puede resolverse usando Mathematica. Taylor ampliar el resultado, que es una Meijer de la función G, resulta que $f(a)$ es analítica en $a$.
En el caso específico de esta integral, es posible utilizar un truco de modo que uno puede directamente Taylor ampliar el integrando (Taylor ampliar el integrando de a $f(a)-f(0)$ después $x\to x'=a x$). Pero no estoy interesado en este particular, integral y estoy mencionando esto como un simple ejemplo.
Ahora, aquí está lo que me parece paradójico: Vamos a tratar de hacer esto en una de peatones más forma al dividir el intervalo de integración y la expansión de Taylor de la exponencial cuando x es pequeño y el resto de el integrando cuando x es grande. Intercambiando la integración y la suma se justifica por el teorema de Fubini (si no me equivoco, $\int \sum |c_n(x)| <\infty$ o $\sum\int |c_n(x)|<\infty$).
Ahora, rompiendo la integral se puede hacer de dos maneras. O bien,
\begin{equation} f(a)=\int_{0}^{1} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x} + \int_{1}^{\infty} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x}\,, \end{equation} o
\begin{equation} f(a)=\int_{0}^{2a} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x} + \int_{2a}^{\infty} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x}\,. \end{equation} $\frac{x^4}{x^4+a^4}$ puede ser Taylor y la ampliación de la integración de los rangos están dentro del radio de convergencia en ambos casos. La expansión de Taylor en ambos casos los resultados en una serie uniformemente convergente y por lo tanto, uno debe ser capaz de intercambio de integración y totalización.
El primer caso, donde el intervalo de integración se divide en $1$, da un resultado analítico en $a$. Curiosamente, el último (rompiendo la integral en $2a$) otorga a los no-analítica de términos (ver más abajo) y no puedo averiguar cómo reconciliar esto con el resultado exacto. La parte inferior de integración de los rangos en ambos casos se dan las expresiones analíticas en $a$.
\begin{equation} \int_{2a}^{\infty} \frac{x^4}{x^4+a^4} e^{-x}\,=\, \sum_{n=0}^{\infty} \int_{2a}^{\infty} \frac{(-1)^n a^{4n}}{x^{4n}}e^{-x} \,=\, \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a^{4n}\Gamma(1-4n,2a). \end{equation} El uso de la expansión de la serie de la parte superior incompleta $\Gamma$-función, habrá términos de la forma $\frac{-(-1)^n}{(4n-1)!} a^{4n} \ln(a)$.
Me gustaría saber si la expansión de Taylor no está justificada (si es así, ¿por qué precisamente), o, aunque es difícil de imaginar, es que de alguna manera estos no-analítica de términos suma de hasta un resultado analítico. Gracias.
