Cantidad de bloque de 3 x 3 de combinaciones binarias píxeles con rotaciones/reflexiones consideradas idéntica

Question

Estoy pensando en un bloque de $3\times 3$ de pixeles donde cada pixel puede ser cualquiera $0$ o $1$.

¿Cuántos bloques únicos existen si tenemos en cuenta rotaciones/reflexiones idénticas?

Creo que la respuesta es $76$, pero soy muy mala en combinatoria. A continuación, una imagen de lo que creo que se encuentra la solución:

Answer 1

Yo clasificaría todos los patrones de la siguiente manera.
Supongo que los píxeles negros son significativas ($1$), el resto es un fondo ($0$).

Primero vemos que la fila inferior en el ejemplo es el negativo de la fila superior, por lo que el número total de patrones = $2 \times $ número de la fila superior.

Así que vamos a concentrarnos en la fila superior.

Aquí tenemos casos donde en la $ 3\times{3}$ cuadrícula no hay píxeles, no es de 1 píxel de color negro, hay 2 píxeles, 3 y 4 píxeles. Estos casos me denotar como #0,..#4. En esta red la central de píxeles es estable bajo rotación y reflexión, el resto de las $8$ hacen estructura que yo te nombre externa ciclo (barrio de la central de píxeles), que generalmente pueden ser afectados por estas operaciones.

0

Evidentemente $1$ patrón.

Introducción para los otros casos.

Para otros casos, es importante tener en cuenta que podemos distinto entre los patrones con visible central de píxeles y sin ella. Los patrones con la central de píxeles para #k (denotado como PC) son descendientes de las minúsculas #k-1. Patrones sin central (denotado como PW) píxel puede ser clasificada de acuerdo a 'distancias' entre los píxeles medido en el exterior del ciclo (hay $8$ píxeles en el exterior, de ciclo, de modo que la suma del número de píxeles y las distancias es siempre igual a $8$ como se dijo). Las distancias son sólo píxeles vacíos entre los elementos de la derecha y a la izquierda del píxel a píxel más cercano - por ejemplo, en el caso de dos píxeles en el exterior del ciclo de dos números puede denotar una distancia.
Si la distancia es igual a $0$ esto quiere decir que dos píxeles en un bloque continuo. Estos posibles distancias se enumeran a continuación en $\{,\}$ soportes para cada caso. El número de distancias en el conjunto $\{,\}$ es igual al número de píxeles en el modelo.

Aviso de que la rotación y reflexión no cambia el conjunto de distancias para un patrón determinado para el uso de distancias para la clasificación parece ser una buena idea.

1

PW - tenemos aquí a distancia $\{ 7\} $ - hay dos patrones distintos para este conjunto de distancias (un píxel en la esquina exterior de ciclo y de un píxel en el punto medio de exteriores ciclo) como en el dibujo en cuestión
PC - $1$ patrón

Número Total $=2+1=3$ patrones.

2

PW -
2 píxeles de forma que la suma de las distancias deben ser $8-2=6$

distancias $\{0,6\}$ - $1$ patrón
$\{1,5\}$ - $2$ los patrones de
$\{2,4\}$ - $2$ los patrones de
$\{3,3\}$ - $2$ los patrones de

PC - $2$ patrones ( basado en PW#1)

Número Total $= 7+2 =9$

3

PW - 3 píxeles de forma que la suma de las distancias deben ser $8-3=5$

distancias $\{0,0,5\}$ - $2$ los patrones de
$\{1,1,3 \}$ - $2$ los patrones de
$ \{1,2,2 \}$ - $2$ los patrones de
$\{1,0,4 \}$ - $2$ los patrones de
$ \{3,0,2 \}$ - $2$ los patrones de

PC - $7$ patrones ( basado en PW#2)

Número Total $= 10+7=17$

4

PW
4 píxeles, por lo que la suma de las distancias deben ser $8-4=4$

distancias $\{4,0,0,0\}$ $1$ patrón
$\{3,0,0,1\}$ $4$ patrones - la única situación en la que todos los casos cuando para un determinado conjunto de distancias que tienen $4$ patrones no $2$ o $1$.
$\{2,0,0,2\}$ $2$ los patrones de
$\{2,0,1,1\}$ $2$ los patrones de
$\{1,1,1, 1 \}$ $2$ los patrones de

PC $10$ patrones ( basado en PW#3)

Número Total $=11+10= 21$

Resumen

La suma Total de la fila superior: $1+3+9+17+21=51$

Y multiplicando por $2$ recibimos $2 \times {51} = 102$ patrones.

No es el mismo número que le han dado, pero la visualización del $76$ patrones fue muy útil para la construcción de esta solución.