Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ sea una secuencia de números positivos estrictamente decrecientes, es decir, $$a_1>a_2>a_3>\cdots$$
Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
- $\lim _{n\rightarrow \infty} a_n=0$
- $\lim _{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{n}=0$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ converge.
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^2}$ converge.
Supongo que todas las opciones son correctas, pero no puedo dar una prueba concreta.
Para el tercer punto, tome $b_n=\frac{a_n}{n}$ y buscar la prueba de relación :
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{n+1}.\frac{n}{a_n}\rightarrow 0$ Así $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ converge.
Para la cuarta viñeta, yo utilizaría simplemente :
En $a_n$ son positivos y $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ converge con $\frac{a_n}{n^2}<\frac{a_n}{n}$ .
diríamos $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^2}$ converge.
No puedo convencerme de que esto sea una prueba.
Así que, por favor, ayúdame a aclarar esto un poco más.
Gracias :)
