Encontrar la distancia más corta entre $y=x+10$y $y=6\sqrt{x}$

Question

Este es un Max/min problema, estoy tratando de calcular la distancia más corta entre el 2 usando el teorema de pitágoras y diffrenciate en el fin de calcular el mininmum de la línea Roja de abajo:

Estoy teniendo problemas para poner la ecuación juntos...estoy en el buen camino?

1º que se me ocurrió:

$$f(x) - g(x) = (x+10) - (6\sqrt{x})$$

Por supuesto que no funciona, entonces traté de ($R$ siendo la distancia de la línea roja)

$$R = (x+10)^2 - (6\sqrt{x})^2$$

Diffrenciated que y yo todavía no consigue la respuesta correcta...tuve la sensación de que ambos son incorrectos, una sugerencia sería genial, disculpas por pedir muchas de estas preguntas recientemente! acaba de llegar mi cerebro en forma para el mes de septiembre, han pasado 2 años desde que me he hecho esta clase de cosas!

Respuesta correcta: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Answer 1

Sugerencia: Puesto que la función $6 \sqrt{x}$ es cóncava y estrictamente por debajo de la gráfica de la línea, la distancia mínima se producirá donde el derivado de $6 \sqrt{x}$ es igual a la pendiente de la recta. Y la distancia será la distancia perpendicular desde la línea.

Answer 2

La distancia del punto a la fórmula de la línea dice que la distancia de $(x_0, y_0)$ $y - x - 10 = 0$ $$ \left|\dfrac{y_0 - x_0 - 10} {\sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2}} \right| $$

En este caso, el punto es $(x, 6 \sqrt{x})$. Enchufe en la fórmula y luego diferenciar.

Answer 3

La distancia entre los dos puntos de $(x,6\sqrt{x})$ y $(y,y+10)$ es igual a $$\sqrt{(x-y)^2+(y+10-6\sqrt{x})^2}$ $

Ahora puede tomar derivados parciales.