¿Hay una diferencia bien definida entre $\nabla$y $D$?

Question

Cuando aplicamos % o $\nabla$ $D$a una función $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$, luego que en principio hacer la misma operación.

Sin embargo, en los libros de texto $\nabla$ es a menudo escrito como un vector columna del $(\partial_1,...,\partial_n)^T$, mientras que se escribe una fila vector $D$ $(\partial_1,...,\partial_n)$.

¿Hay una diferencia bien definida entre estos dos operadores cuando se aplican a una sola función real?

Answer 1

Un diferencial de aparejador le dirá que el diferencial de $Df|_p$ a un punto es el lineal mapa de $\mathbb R^n \to \mathbb R$ que envía un vector de columna $v \in \mathbb R^n$ al producto interior $(\partial_1|_p,...,\partial_n|_p) \cdot v$. El (total) diferencial de $Df$ es el buen mapa de $\mathbb R^n \to (\mathbb R^n)^*$ (el doble como un espacio vectorial¹) que envía a $p$$Df|_p$. Tiene sentido definir la diferencial de una función de $f : \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ demasiado; será una suave mapa de $\mathbb R^n \to \operatorname{Hom}(\mathbb R^n, \mathbb R^m)$.¹

El gradiente $\nabla f$ es un campo de vectores (un vector tangente en cada punto) que se caracteriza por la propiedad de que la $\langle (\nabla f)(p), v \rangle = Df|_p(v)$ donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es el interior del producto. Es decir, $(\nabla f)(p) = (\partial_1|_p,...,\partial_n|_p)^T$.

El diferencial de $Df$ generaliza a cualquier liso mapa entre la variedad diferenciable $M,N$ como lineal mapa entre la tangente espacios en cada punto de $p$ y a su imagen,$f(p)$. Si $N = \mathbb R$, $Df$ es un diferencial $1$-forma. El gradiente se generaliza a la de Riemann o pseudo-Riemann colectores, donde tenemos un no-degenerada interior del producto.

La diferencial de una suave con un valor real de la función es una sección de la cotangente del paquete de $\Omega^1(M)$. Su pendiente es una sección de la tangente bundle $TM$, que es el doble de $\Omega^1$.

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¹ El diferencial de la estructura de $(\mathbb R^n)^*$ $\operatorname{Hom}(\mathbb R^n, \mathbb R^m)$ son obtenidos por el transporte de la estructura a través de un lineal bijection con algunos $\mathbb R^N$, y no depende de la lineal bijection. Es decir, puede tomar cualquier base y mapas será suave iff sus componentes en base a eso son lisas.