Mostrar que una forma bilineal es Coercive

Question

Estoy leyendo a través de Brezis libro en el análisis funcional, espacios de Sobolev y de la PDE, y estoy teniendo problemas para mostrar que la forma Bilineal: $a(u,v) = \int_{0}^{2}u'v'dx+\left(\int_{0}^{1}u dx\right) \left(\int_{0}^{1}v dx\right)$ es coercitiva.(Problema 8.25 #2).

El libro ofrece el siguiente consejo: (Afirman que la contradicción y asumir que hay una secuencia $(u_n)$ $H^1$ tal que $a(u_n,u_n)\rightarrow 0$$||u_n||_{H^1}=1$. Deje $(u_{n_k})$ ser una larga tal que $u_{n_k} \rightharpoonup u$ $H^1$ $||u_{n_k}||_{L^2}\rightarrow||u||_{L^2}$ para algunos límite de u. Demostrar que u=0.

De la anterior pregunta que tengo:

$|a(u,v)|\leq ||u||_{H^1}||v||_{H^1}~~~~~~~$ $~~~~~~~a(u,u)=0 ~~~\Rightarrow~~~ u=0$

He estado lanzando ideas al de la mayoría de los de hoy y he dado con algo que lleva a la contradicción. Algunas sugerencias para el lugar correcto para empezar?

Answer 1

Supongamos ad absurdum que hay una secuencia $u_n\in H^1$ tal que $$a(u_n,u_n)\to 0,\ \ \|u_n\|_{H^1}=1$$

En otras palabras $$\tag{1} \int_0^2 |u_n'|^2+\left(\int_0^1 u_n\right)^2\to 0,\ \int_0^2u_n^2+\int_0^2|u_n'|^2=1$$

Llegamos a la conclusión de $(1)$ que $$\int_0^2 |u'_n|\to 0,\ \int_0^2u_n^2\to 1\tag{2}$$

Suponer sin pérdida de generalidad que $u_n\rightharpoonup u$$H^1$, por lo tanto, $u_n'\rightharpoonup u'$$L^2$, lo que implica que $$\|u'\|_{L^2}\leq\liminf \|u'_n\|_{L^2}=0$$

Llegamos a la conclusión de la última desigualdad que $u=c$ donde $c$ es una constante. Por otra parte, debido a $u_n\to u$ $L^2$ (compact incrustación de objetos), tenemos que $$\int_0^2 u_nf\to\int_0^2 uf,\ \forall \ f\in L^2$$

Tome $f$ como la función característica del intervalo de $(0,1)$, por lo tanto $$\int_0^1 u_n\to \int_0^1 u\tag{3}$$

Combinamos $(3)$ $(1)$ a la conclusión de que la $u=0$$[0,1]$. Debido a $u$ es continua (cada función en $H^1(0,2)$ es continuo) tenemos que $u=0$$[0,2]$. Para finalizar la discusión, el uso de $(2)$ a la conclusión de que

$$\int_0^1 u^2=1$$

lo cual es un absurdo.