¿Asumir la secuencia exacta $$ \begin{equation} A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{} Cokerf \xrightarrow{} o \end{equation} $$ where $A $ is a finitely generated module and $B $ is a finitely presented module. Is it true that $ Cokerf$ finito se presenta el módulo? ¿En general, es el cociente de un módulo finitamente presentado a un submódulo finito generado, finitamente presentado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
htc
Puntos
1
Esto es cierto.
Voy a indicar el anillo de $R$, mientras que permanecer en silencio acerca de si estos están a la izquierda o a la derecha de los módulos.
Escribir $B = R^n/I$ para algunos finitely generado submódulo $I \subseteq R^n$. A continuación, la imagen de $f \colon A \to B$ es de la forma $J/I$ para algunos submódulo $J \subseteq R^n$, e $J/I$ es un finitely módulo generado. A continuación, $J$ es finitely generado: tomar un número finito de elementos de $J$ cuyas imágenes generar $J/I$, junto con un número finito de generación del sistema para $I$, le dará un número finito de generación del sistema para $J$.
Por lo tanto $Coker(f) \cong R^n/J$ es finitely presentado.
Si usted está buscando una referencia, véase el Ejercicio 4.8 en T. Y. Lam libro de Ejercicios en los Módulos y Anillos.
