Ayuda con esta integral compleja simple sobre el conjugado

Question

Actualmente estoy tratando de calcular

$$\int_{|z| = 2} \overline{z} dz.$$

Tomemos $\overline{z} = f(z).$ Veo que para $z = re^{i\theta} = r\cos(\theta) + r\sin(\theta)i,$ Vemos que $$\overline{z} = r\cos(\theta) - r\sin(\theta)i = r\cos(-\theta) + r\sin(-\theta)i = re^{-i\theta}.$$

Por lo tanto,

$$\{z | |z| = 2\} = \{2e^{i\theta}, \theta \in [0,2\pi)\}.$$

Tomemos $q(\theta) = 2e^{i\theta}.$ Podemos ver que $$\int_{|z| = 2} f(z) dz = \int_{0}^{2\pi} f(q(\theta))q'(\theta) d\theta$$ $$=\int_0^{2\pi} f(2e^{i\theta})(2e^{i\theta} \cdot i) d\theta$$ $$=2i \int_0^{2\pi} 2e^{-i\theta} e^{i\theta} d\theta$$ $$=2i \int_0^{2\pi} 2 d\theta = 2i(4\pi) = 8\pi i.$$

Sin embargo, no estoy totalmente seguro de si este cálculo es correcto. ¿Alguna recomendación sobre cómo verificar esto?

Answer 1

Una forma rápida de calcular la integral es la siguiente: $$\int_{|z| = 2} \bar z\,dz = \int_{|z| = 2} \frac{|z|^2}{z}\,dz = \int_{|z| = 2} \frac{4}{z}\,dz$$ Según el teorema de los residuos, esto debería resultar en $4 \cdot 2 \pi i = 8 \pi i$ (asumiendo que el contorno está orientado positivamente). Por lo tanto, tu respuesta es correcta.

Answer 2

Otra forma de evaluar este tipo de integrales de contorno que involucran a $\bar{z}$ es identificar $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ a través de la parametrización $$\mathbb{R}^2 \ni (x,y) \quad\mapsto\quad z = x + iy \in \mathbb{C}$$

y luego aplicar el teorema de Stokes.

Sea $D$ el disco $\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 2 \}$ en el plano complejo, su frontera $\partial D$ es el círculo $|z| = 2$.
La integral de contorno en cuestión es equivalente a

$$\int_{\partial D} \bar{z}dz = \int_D d(\bar{z} dz) = \int_D d\bar{z}\wedge dz = \int_D (dx - i dy)\wedge(dx + i dy) = 2i\int_D dx\wedge dy$$ Dado que $dx \wedge dy$ es el elemento de área de $\mathbb{R}^2$, encontramos que $$\oint_{|z| = 2} \bar{z} dz = \int_{\partial D} \bar{z}dz = 2i\verb/Area/(D) = 2i(\pi 2^2) = 8\pi i$$