Encontrar el rastro de la matriz $P^4 - P^3.$

Question

Sea $P$ ser un $2 \times 2$ matriz compleja tal que Traza(P) = 1, Determinante(P) = -6, Hallar Traza $(P^4 - P^3).$

Lo que he hecho, si $\lambda_1, \lambda_2$ es el valor propio, entonces encuentro $\lambda_1 = 3$ y $\lambda_2 = -2.$ Por tanto, el valor propio de $P^4$ serán 81 y 16. A partir de este punto podemos encontrar Traza $(P^4).$ Del mismo modo para Trace $(P^3).$ Así podemos encontrar el resultado deseado.

Mi pregunta es si tengo razón. También ¿Cuál es el papel de la matriz compleja aquí?

Answer 1

Mediante la aplicación de Teorema de Cayley-Hamilton tenemos $$P^2-P-6I=0$$ Así $$\text{Trace}(P^2)=\text{Trace}(P)+6\,\text{Trace}(I_{2\times 2})=13$$ Por otra parte $$P^3=P^2+6P$$ por lo tanto $$\text{Trace}(P^3)=13+6=19$$ y $$P^4=P^2+12P+36I^2$$ así que $$\text{Trace}(P^4)=13+12+72=97$$