Nonabelian grupos de orden $p^3$

Question

De la lectura un poco, sé que $p$ y el primer impar, hay dos grupos de nonabelian de orden $p^3$, es decir, el producto semidirecto de $\mathbb{Z}/(p)\times\mathbb{Z}/(p)$ y $\mathbb{Z}/(p)$ y el producto semidirecto de $\mathbb{Z}/(p^2)$ y $\mathbb{Z}/(p)$.

¿Hay alguna razón evidente que estos grupos son nonabelian?

Answer 1

Piénsalo de esta manera, suponga que tiene que $G=A\rtimes_\varphi B$ $A,B$ dónde están abelian. Entonces tienes un corto exacta secuencia $0\to A\to G\xrightarrow{\gamma} B\to 0$ y un backmap $B\xrightarrow{\psi}G$ tal que $\gamma\circ\psi=1B$. Si usted asume que $G$ es abeliano entonces la división lema $\mathbb{Z}$-módulos dice que se divide la secuencia $0\to A\to G\to B\to0$ y así $G\cong A\oplus B$. Por lo tanto, si $A\rtimes\varphi B$ es abeliano, entonces $A\rtimes_\varphi B\cong A\oplus B$. Pero es fácil comprobar que éste es el caso si y solamente si $\varphi$ es trivial. Por lo tanto, no triviales productos semidirecto inducen a grupos no abelianos.