Una pregunta en la prueba de $C(X)$ no es un espacio dual de un espacio de Banach.

Question

Que $X$ ser un espacio conectado compacto no singleton. Quiero mostrar que $C_{\mathbb{R}}(X)$ no es el espacio dual de un espacio de Banach, $\mathbb{R}$ es el número real.

Sé ya que, los puntos extremos de $Ball(C_{\mathbb{R}}(X))$ ${f\equiv 1, f\equiv -1}$. Entonces por Teorema de Krein Milman,

$Ball(C_{\mathbb{R}}(X))$ = débil -cierre de conjunto convexo conbination de ${f\equiv 1, f\equiv -1}$ = débil cierre de ${f\equiv a : a\in[-1,1]}$.

¿Cómo puedo concluir que $X$ es un singleton desde arriba?

¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

El conjunto de constantes de las funciones de $\{f\equiv a: a\in[-1,1]\}$ ya es débil*-cerrado (por ejemplo, es compacto, ya que el mapa de $[-1,1]\to C_\mathbb{R}(X))$ envío de $a$ a la función constante tomando el valor $a$ es continua y $[-1,1]$ es compacto), por lo que ha demostrado que, de hecho, cada elemento de a $Ball(C_\mathbb{R}(X))$ es una función constante. Esto significa que toda función continua $X\to\mathbb{R}$ es constante. Pero por Urysohn del lexema, si $x,y\in X$ son distintos puntos, existe una función continua $f:X\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)=0$$f(y)=1$. Tal función no es función, por lo que debe ser imposible tener distintos puntos de $x,y\in X$. Es decir, $X$ debe tener un solo punto.