Encontrar las soluciones de la ecuación diofántica del $(x^2-y^2)(z^2-w^2)=2xyzw$

Question

Que $x,y,z,w$ ser positivas números enteros. Encontrar todas las soluciones de: $$(x^2-y^2)(z^2-w^2)=2xyzw$ $

Esto da: $$\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\right)\left(\dfrac{z}{w}-\dfrac{w}{z}\right)=2$ $

$$\left(p-\dfrac{1}{p}\right)\left(q-\dfrac{1}{q}\right)=2$$

Answer 1

Teniendo en cuenta,

$$\Big(p-\frac{1}{p}\Big)\,r=2\tag1$$ $$q-\frac{1}{q} = r\tag2$$

Resolver $p$ $(1)$ y $q$ $(2)$,

$$p=\frac{1\pm\sqrt{r^2+1}}{r}$$

$$q=\frac{r\pm\sqrt{r^2+4}}{2}$$

El discriminante debe ser un cuadrado. Tenemos que encontrar el número racional $r=u/v$ tal que,

$$ u ^ 2 + v ^ 2 = w_1 ^ 2\ u ^ 2 +4v ^ 2 = w_2 ^ 2$ $

Pero $d=4$ no es un número de forma concordante.

Por lo tanto, no hay ninguna solución $u,v$, y tu ecuación original no tiene soluciones del número entero.

Answer 2

NO hay soluciones racionales o enteros.

La ecuación \begin{equation*} \left( p-\frac{1}{p} \right) \left( q-\frac{1}{q} \right) =2 \end{ecuación*} es equivalente a la ecuación cuadrática \begin{equation*} p^2 + \frac{2q}{1-q^2} p - 1=0 \end{ecuación*}

Para que esto tiene soluciones racionales el discriminante debe ser racional, cuadrado, por lo que debe existir $D \in \mathbb{Q}$ tal que \begin{equation*} D^2=q^4-q^2+1 \end{ecuación*}

El cuarto grado tiene un punto racional al $q=0$, por lo que es birationally equivalente a una curva elíptica. La curva es \begin{equation*} V^2=U^3-7U^2+12U=U(U-3)(U-4) \end{ecuación*} con \begin{equation*} q=\frac{V}{2U-6} \end{ecuación*}

Pari-gp da $7$ finito de torsión puntos, $(0,0)$, $(3,0)$, $(4,0)$, $(2, \pm 2)$ y $(6,\pm 6)$. Denis de Simón ellrank paquete de dar rango de $0$, por lo que la torsión puntos son los únicos puntos racionales.

La torsión dar puntos $q=0$, $q=\pm 1$ o $q$ indefinido, todos los cuales son valores inaceptables para un entero positivo de la solución.