$A = \left\{ (1,x) \in \mathbb{R}^2 : x \in [2,4] \right\} \subseteq \mathbb{R}^2$ es acotado y cerrado, pero no compacto?

Question

Es cierto que el conjunto de $A = \left\{ (1,x) \in \mathbb{R}^2 : x \in [2,4] \right\} \subseteq \mathbb{R}^2$ es acotado y cerrado, pero no es compacto. Consideramos el espacio de $(\mathbb{R}^2, d_C)$ donde $$d_C(x,y) = \begin{cases} d_E(x,y) \quad \text{if x, y, 0 in one line} \\ d_E(x,0)+d_E(0,y) \quad \text{in any other case} \end{cases}$$

Donde, por supuesto $d_E$ es la métrica euclidiana.

Answer 1

Sí, es cierto. De hecho, $A$ es un sistema cerrado, el conjunto discreto en $\Bbb R^2$ con la métrica $d_C$, y un infinito, conjunto discreto nunca es compacto.

Para cada una de las $a\in[2,4]$ vamos

$$U_a=\left\{\langle x,ax\rangle:\frac12<x<\frac32\right\}\;;$$

$U_a$ es un intervalo abierto en la línea a través de$\langle 0,0\rangle$$\langle 1,a\rangle\in A$, por lo que es un conjunto abierto en el espacio; de hecho, es el abrir $d_C$-bola de radio $\frac{\sqrt{a^2+1}}2$ centrada en $\langle 1,a\rangle$. $U_a\cap A=\langle 1,a\rangle$ para cada una de las $a\in[2,4]$, lo $A$ es discreto. De hecho, el abierto de los conjuntos de $U_a$ $a\in[2,4]$ son incluso de a pares distintos. Por lo tanto, $\{U_a:a\in[2,4]\}$ es una cubierta abierta de a $A$ que no tiene finita subcover. (Aún no tiene ningún adecuada subcover: cada uno de los conjuntos de $U_a$ es realmente necesario a fin de cubrir la $A$.)

El punto de $A$ más alejado del origen es $\langle 1,4\rangle$, e $d_C(\langle 0,0\rangle,\langle 1,4\rangle)=\sqrt{17}$, lo $A$ se encuentra dentro de una bola de finito de radio centrado en el origen y es por lo tanto limitada. Yo voy a dejar a usted para comprobar que $A$ es cerrado en esta topología, las ideas que he utilizado para la construcción de los conjuntos de $U_a$ debe ayudar, si no, ya veremos cómo.

Answer 2

Sí, eso es correcto. Tenga en cuenta que cada punto de $a\in A$ es aislado, porque si usted elige $\epsilon<d_E(a,0)$, luego esta pelota no contiene ningún otro punto de $b\in A$, ya que la distancia $d_C(a,b)$ sería mayor que en el $d_E(a,0)$. Eso significa que $A$ es discreto.

$A$ es limitada ya que la distancia de cada punto en $A$ $0$es sólo la distancia Euclidiana.

Finalmente, $A$ se cierra:

• $0$ tiene su distancia Euclidiana de$A$, lo que es claramente positiva.
• Cada punto de $y=(y_1,y_2)\ne0$ no $A$ $d_E(y,0)$- bola que no contienen ningún punto en una línea diferente a la que pasa por el origen.
• Un punto también tiene un resultado positivo de distancia de $\left(1,\frac{y_2}{y_1}\right)$, el único punto posible en $A$ que puede estar en la misma línea a través de $0$, es decir, $(1-y_1)\sqrt{1+\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^2}$