La integral de la función de Sinc $\mathbb{R}$ es bien conocido, $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi$$But if I try to evaluate this using integration by parts, I get $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \left.-\frac{\cos(x)}{x} \right|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2} dx$$ The first part is $0$, y la segunda parte se bifurca.
¿Qué está pasando? Es la integración por partes simplemente no kosher aquí? Si es así, ¿por qué no?
El problema es la discontinuidad en el $0$ en el coseno términos al realizar la integración parcial, que es pasado por alto en el caso de integrar más de $\mathbb{R}$. Para evitar esto, considere la posibilidad de:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=2\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$
Por partes:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \left.-\frac{\cos(x)}{x} \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2} dx$$
Y aquí, ambos términos en el lado derecho divergen. No hay contradicción.
La definitiva integración por partes de la fórmula
$$\int_a^b f(x) g(x)\ dx = F(x) g(x)\bigg|_a^b - \int_a^b F(x) g'(x)\ dx$$
se justifica por el producto de la regla para la derivada y el teorema fundamental del cálculo
$$\int_a^b (F g)'(x)\ dx = F(x) g(x) \bigg|_a^b $$
Pero la "letra pequeña" hay que $F(x) g(x)$ se supone que para ser continuamente diferenciable en el intervalo de $(a,b)$ y continua en $[a,b]$. En este caso con $F(x) = -\cos(x)$$g(x) = 1/x$, $F(x) g(x)$ no está definido en $x=0$, y no hay una definición de ahí se hará continua en $x=0$, mucho menos diferenciables. Así que usted no puede usar la integración por partes de la fórmula para esta integral en cualquier intervalo que contenga $0$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
