Sí, sí. La razón de esto es central para la teoría matemática que sustenta la mecánica cuántica.
Estamos acostumbrados a pensar acerca de los vectores como las pequeñas flechas con las longitudes y direcciones, pero que no es completa ni es siempre útil. Una partícula de la función de onda (y, de hecho, su spin) son también vectores, pero en una forma más general. La característica definitoria de los vectores que debemos aceptar es que "se comportan de la misma" en cada marco de referencia (es decir, si gira o traducir una colección de vectores, la resultante de los vectores se expresan de manera diferente, pero su relativa longitudes y direcciones será el mismo).
El mismo principio se aplica en la mecánica cuántica. El estado de un sistema puede ser descrito en el "ímpetu espacio" o "la posición del espacio" o "energía en el espacio", pero el estado en sí mismo no depende de cómo se expresa. Usted puede estar familiarizado con la "identidad " operador" $\Bbb I=\sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ donde $|\psi_n\rangle$ puede ser cualquier base ortonormales te gusta. Esto se llama la identidad del operador debido a que mediante la aplicación de un cierto estado de todo lo que logran es que la expansión de ese estado en el $\psi$ -.
La misma idea funciona para la vuelta. Tienes algún estado del sistema descrito por la persona total y $z$-componente angular de los impulsos de las dos partículas ($|l_1,l_2,m_1,m_2\rangle$), y que se va a expresar en otra base ($|l_{tot},l_1,l_2,m_{tot}\rangle$). Su pregunta acerca de si la base es completa podría ser reformulado de esta manera "Es toda la información que yo tenía sobre el sistema en mi primera base todavía disponible en mi segunda base?"
Para demostrar que este es el caso, usted sólo tiene que mostrar que todos los operadores de la nueva base que conmutan con todos los demás operadores en la nueva base, y que el número total de operadores en la nueva base es el mismo número que antes (es decir, que el estado es especificado por el mismo número de números cuánticos). En este caso, estas dos condiciones son triviales para comprobar. (Este es el mismo procedimiento básico como al cambio de coordenadas de las bases en un espacio vectorial: usted tiene que asegurarse de que la dimensión de la nueva base es la misma que la dimensión de la vieja base.) Otra forma de comprobar que la nueva base de las obras es mostrar que no existe ningún otro operador que conmuta con cada operador de la base. Mientras que es posible, también es tedioso.
Por la manera de señalar que esta analogía a los tradicionales espacios vectoriales es realmente exacto en este caso (no lo es en realidad una analogía), cuenta de dos cosas:
En primer lugar, el spin-espacio de estado es finito-dimensional espacio vectorial desde el spin es cuantificada (es decir, estados de spin se puede representar exactamente como vectores columna).
Segundo, la Clebsch-Gordan Coeficientes son exactamente los números que caracterizan la siguiente transformación:
$$
|l_{tot},m_{tot},l_1,l_2\rangle=\sum_{m_1, m_2}C \ |l_1,m_1,l_2,m_2\rangle
$$
Y recordando la identidad del operador que he mencionado anteriormente, podemos deducir que la Clebsch-Gordan Coeficientes debe ser dada por
$$
C=\langle l_1,m_1,l_2,m_2|l_{tot},m_{tot},l_1,l_2\rangle
$$
