Supongamos que tenemos una secuencia infinita de las constantes de $\{ a_i \}_{i=0}^{\infty}$ donde $0 < a_i < 1$ por cada $i$, y definimos $b_i \equiv a_i \prod_{j=0}^{i - 1}(1 - a_j)$. ¿Cómo podemos demostrar $\sum_{i=0}^{\infty} b_i = 1$?
Respuesta
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DiGi
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El declaró resultado es falso en general.
Imagine que usted tiene monedas $C_k$$k\in\Bbb N$, $a_k$ es la probabilidad de que $C_k$ sale cara cuando le da la vuelta. Ahora le da la vuelta a las monedas una vez cada uno en secuencia. Deje $E_k$ ser el caso de que la primera cabeza volteada es en $C_k$; a continuación, los eventos $E_k$ son disjuntos a pares, y $b_k$ es la probabilidad de $E_k$. El suceso complementario de a $\bigcup_{k\in\Bbb N}E_k$ es que le da la vuelta sin cabezas, un evento cuya probabilidad es claramente $\prod_{k\in\Bbb N}(1-a_k)$. Por lo tanto, $\sum_{k\in\Bbb N}b_k=1$ si y sólo si $\prod_{k\in\Bbb N}(1-a_k)=0$.
De forma recursiva construir una secuencia $\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle$ $(0,1)$ como sigue. Deje $a_0=\frac12$. Dado $n\in\Bbb Z^+$ $a_k$ $k<n$ tal que $1>\prod_{k<n}(1-a_k)>\frac14$, vamos
$$1-a_n=\frac12\left(\frac{1/4}{\prod_{k<n}(1-a_k)}+1\right)=\frac1{8\prod_{k<n}(1-a_k)}+\frac12\;;$$
claramente $0<1-a_n<1$, lo $0<a_n<1$, e $\prod_{k\le n}(1-a_k)>\frac14$, por lo que la construcción va a través.
Pero $\prod_{k\le n}(1-a_k)>\frac14$ por cada $n\in\Bbb N$, lo $\prod_{k\in\Bbb N}(1-a_k)\ge\frac14>0$, e $\sum_{k\in\Bbb N}b_k<1$.
Como alternativa, puede utilizar el argumento sugerido por achille hui en los comentarios, pero tenga en cuenta que las sumas parciales de la telescópico de la serie son de la forma $b_0+c_0-c_n$ donde $c_m=\prod_{k\le m}(1-a_k)$, y
$$b_0+c_0-c_n=a_0+(1-a_0)-c_n=1-c_n=1-\prod_{k\le n}(1-a_k)\;.$$
Esto tiende a $1$ $n\to\infty$ si y sólo si $\prod_{k\in\Bbb N}(1-a_k)=0$, que, como hemos visto, no tiene que ser el caso.
