Se puede demostrar la existencia de incommensurables sin el teorema de Pitágoras?

Question

Euclides prueba de que el lado y la diagonal de un cuadrado no tienen medida común, probablemente volviendo de los Pitagóricos, la reduce a demostrar la irracionalidad de la $\sqrt{2}$. Esta reducción se utiliza el teorema de Pitágoras, y por lo tanto, el axioma de parallels. Sin embargo, no hay una medida común para todos los segmentos en el plano hiperbólico, por lo que la existencia de incommensurables debe ser independiente de los axiomas de parallels. Desde el Cantor del axioma de continuidad permite construir los números reales geométricamente también es suficiente para producir incommensurables, pero, ¿y si dejamos a estos dos.

Si tomamos líneas con rational pendientes sólo en $\mathbb{Q}^2$ el axioma de la congruencia de segmentos no está satisfecho, no hay ningún segmento a lo largo de la diagonal de un racional cuadrados congruentes a su lado y con el extremo en su vértice.

Se puede demostrar la existencia de incommensurables en la escuela primaria la geometría absoluta, es decir, sin los axiomas de parallels y continuidad? Es conmensurabilidad, al menos, en consonancia con el resto de los axiomas de Hilbert?

Esta pregunta es un seguimiento a Ejemplo de una prueba utilizando el axioma de la conmensurabilidad.

EDIT: Sin el axioma de parallels métrica nociones, y por lo tanto la correspondencia entre los segmentos y los números, no puede ser establecida. Por lo que las variaciones en $\sqrt{2}$ y la proporción áurea no funcionan. Las pruebas de que la Euclidiana de la construcción se corta un segmento en el cociente de oro, por ejemplo, también el uso de algunos equivalente al axioma de parallels (suma de ángulos $\pi$ o Euclidiana trigonometría). Sin el axioma de continuidad de la cardinalidad de los argumentos no se aplican. Por otro lado, no está claro el modelo de la geometría con infinitamente muchos puntos en los que todos los segmentos son proporcionales, $\mathbb{Q}^2$ racional con pendientes no funciona exactamente la causa de la unidad de cuadrado y su diagonal.

Answer 1

Irrationals que implican el cociente de oro aparecen en cada plano hiperbólico. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_triangle. Su edición señala que Euclides de la construcción de la proporción áurea no va a funcionar, pero su pregunta no especifica sólo lo que los tipos de las construcciones están permitidos. Creo que una respuesta completa dependería de hacer la pregunta más precisa.

Answer 2

Hay una prueba de que ninguna raíz cuadrada de un número natural es un número natural o irracional que utiliza el único número primo de la factorización, no Pitágoras. Yo en realidad no sé si hay algunas sutiles de dependencia en el postulado paralelo - espero que a alguien le punto de que si ese es el caso.

Si un racional de la raíz cuadrada de n existe, entonces (similar a una prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$) $a^2 = b^2n$ naturales a y b. Desde cualquier primer ocurren en la factorización de a se produce un número par de veces en la factorización de $a^2$, y dado que la factorización es única, esta misma prime se produce un número par de veces en $b^2n$. Pero, en la factorización de $b^2$ cualquier prime también se produce un número par de veces. Ya que la diferencia de dos números pares es par, esto significa que cualquier primer ocurren en la factorización de n también se produce un número par de veces, por ejemplo, n es un cuadrado perfecto (esta es la contradicción).

Por supuesto, sabemos que no todos los de la raíz cuadrada de un número natural es un número natural, por lo que esto muestra la existencia de irrationals (o incommensurables).