Cómo probar que el determinante de la matriz identidad con columnas en orden inverso es -1

Question

Si $C\in M_n(\mathbb{R})$ tal que $(C)_{ij} = (I)_{(i)(n+1-j)}$, ¿cómo puedo demostrar que $\det (C) = -1$.

Lo que he intentado: sé que $\det(C) = -1$$C\in M_{2}(\mathbb{R})$, pero no sé cómo demostrarlo para $M_n(\mathbb{R})$.

Answer 1

No es cierto cuando se $n=4$, por ejemplo:

$$\begin{align*} \left|\matrix{0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0}\right|&=-\left|\matrix{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}\right|=-\left|\matrix{0&1\\1&0}\right|=1 \end{align*}$$

por las reiteradas cofactor de expansión a lo largo de la fila superior.

De hecho es verdadera precisamente cuando $\binom{n}2$ es impar: intercambiando dos columnas de una matriz se multiplica su determinante por $-1$, y se tarda $\binom{n}2=\sum_{k=1}^{n-1}k$ de los intercambiadores de invertir el orden de las columnas de una $n\times n$ matriz.

Answer 2

Una de las definiciones de determinante es:

$$\det(A) = \sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}$$

Esperemos que en términos más sencillos, nos alcance sobre todos los posibles "patrones" (formas de recoger $n$ entradas de tal forma que cada fila y cada columna se representa exactamente una vez), calcular el producto de las entradas en el patrón, la aplicación de un cambio de signo en función del número de pares de entradas en el patrón de donde uno está arriba y a la derecha de las otras entradas en el patrón (si es impar, cambio de signo. si, incluso, mantener firme el mismo), y luego sumar.

En el caso de la anti-identidad, no es exactamente un patrón que aporta un valor distinto de cero suma.

Además, como cada entrada en el patrón está arriba y a la derecha de cada entrada anterior del patrón, el número de "arriba y a la derecha" pares se $\binom{n}{2}$, por lo que la firma se $(-1)^{\binom{n}{2}}$

El producto va a ser uno, como cada distinto de cero de la entrada es de uno, dando:

$\det(A)=(-1)^{\binom{n}{2}}$

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como un aparte, para mostrar esta fórmula en la acción, considere la siguiente matriz:

$\begin{bmatrix}0&2&1\\2&-1&1\\0&1&2\end{bmatrix}$. Sólo hay dos patrones que aportará un valor distinto de cero total a la suma: $\begin{bmatrix}0&\color{red}{2}&1\\\color{red}{2}&-1&1\\0&1&\color{red}{2}\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}0&2&\color{red}{1}\\\color{red}{2}&-1&1\\0&\color{red}{1}&2\end{bmatrix}$. En el primer caso, sólo un par derecho están los dos en la primera y segunda columna, por lo que la firma es $-1$. En el segundo patrón, hay dos ocurrencias, los dos en la primera columna y el uno en el tercer así como el de la segunda columna con el de la tercera, por lo que su firma es $1$.

Esto le da el determinante como $(-1)(2\cdot 2\cdot 2)+(1)(2\cdot 1\cdot 1) = -8+2 = -6$ para el factor determinante.

Answer 3

La permutación de las columnas, que los cambios de la matriz identidad si la dimensión de $n$ en el 'anti-identidad' de la matriz es el producto de todas las transposiciones $(i,n+1-i)$, $\;1\le i\le \bigl\lfloor\frac n2\bigr\rfloor$. Por lo tanto el determinante es $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}$.