Isomorfismo de extensiones simples

Question

Tengo que demostrar si $\alpha$ tiene el % polinomio mínimo $t^2-2$$\mathbb{Q}$$\beta$tiene el % polinomio mínimo $t^2-4t+2$$\mathbb{Q}$luego el % de extensiones $\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}$y $\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}$ son isomorfos.

¿Sin embargo es la única manera que sé cómo mostrar que dos extensiones son isomorfas si $\alpha$ y $\beta$ tenía el mismo polinomio mínimo, que no lo hacen?

Saludos gente

Answer 1

Sugerencia:

Si imaginamos dos campos encajados $\Bbb C$, entonces claramente $\alpha$ debe ser $\pm\sqrt 2$ mientras que por la fórmula cuadrática $\beta = \frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt{2}$.

Answer 2

Otra solución: elegir una extensión común, decir $\mathbb{C}$. Entonces implica la $0 = \beta^2-4\beta+2 = (\beta-2)^2-2$ $\beta-2=\pm \alpha$, por lo tanto, $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta)$.

Answer 3

Deje $\alpha$ tienen un mínimo polinomio $t^2-2$$\mathbb{Q}$, e $\beta$ tienen un mínimo polinomio $t^2+4t+2$$\mathbb{Q}$. Tenemos que mostrar que las extensiones $\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q}$ son isomorfos. Es suficiente para demostrar que $\alpha$ $\beta$ se puede escribir como una combinación lineal de uno a otro debido a la definición de una simple extensión.

Si $\alpha$ tienen un mínimo polinomio $t^2-2$$\mathbb{Q}$,$\alpha=\pm \sqrt{2}$. Del mismo modo, si $\beta$ tienen un mínimo polinomio $t^2+4t+2$$\mathbb{Q}$, por la fórmula cuadrática $$\beta=\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2},$$ a continuación,$\beta=2\pm 2$. Tenga en cuenta que $$0=\beta^2-4\beta+2=\beta^2-4\beta+4+(-4+2)=(\beta-2)^2-2.$$ So $$(\beta-2)^2=2 \iff \beta-2=\pm \sqrt{2}=\beta-2=\pm \alpha.$$ Hence $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta).$ (i.e. The extensions $\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}$ and $\mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q}$ son isomorfos.)

Answer 4

Considerar todos los elementos puedes obtener utilizando la adición, resta, multiplicación y división de racionales y $\alpha$ y deducir que usted puede obtener todos los elementos de $\mathbb{Q}(\beta)$. Esto demuestra que $\mathbb{Q}(\beta)$ es un subcampo de $\mathbb{Q}(\alpha)$. Hacer lo contrario para demostrar son realmente iguales.