resolver $ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fxy^2+gxz^2+hy^2z+iyz^2=0$ % trillizos todos $(x,y,z)$.

Question

que $x,y,z$ ser cualquier 3 enteros positivos. ¿Si todos $x,y,z$, tenemos: $$ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fxy^2+gxz^2+hy^2z+iyz^2=0$$ What can be said about the integral coefficients $ a, b, c, e, f, g, h, i$? Creo que deben ser todo ceros. ¿Qué te parece?

Answer 1

Considerar la adopción parcial de las diferencias finitas: por ejemplo, la evaluación de a $z$ $z+1$ y restando, se sigue inmediatamente que $c(3z^2+3z+1)+ex^2+(gx+iy)(2z+1)+hy^2=0$ todos los $x,y,z$. Al igual que con la diferenciación, la finita de diferenciación operación reduce el grado de la ecuación: esta ecuación es de grado $2$ (donde el original era cúbicos). Ahora usted puede tomar dos diferencias finitas en el $y$ a mostrar de inmediato que $h=0$, y del mismo modo tomar dos diferencias finitas en el $x$ que $e=0$, o tomar otras dos diferencias finitas en el $z$ que $c=0$. En general, cada una de las posibles tercer orden parcial de diferencia finita para aniquilar a todos, pero uno de sus coeficientes y permiten mostrar que el coeficiente debe ser cero.

Answer 2

Lenguaje de la matriz

$$\begin{pmatrix}a&b&c&d&e&f&g&h&i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x^4\y^3\z^3\x^2y\x^2z\xy^2\xz^2\y^2z\yz^2\end{pmatrix}=(0)$$

Es evidente que para valores arbitrarios de $x,y,z$ podemos conseguir mucho más que nueve ecuaciones lineales los 9 coeficientes $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ para que sea la única posible compatibilidad con $a=b=c=d=e=f=g=h=i=0$

Answer 3

Un caso especial de la parametrización:

$${z}^{3}-2\,a\,y\,{z}^{2}-b\,x\,{z}^{2}+\left( {a}^{2}-b\right) \,{y}^{2}\,z+\left( a\,b-3\,c\right) \,x\,y\,z+a\,c\,{x}^{2}\,z+\left( c+a\,b\right) \,{y}^{3}+\left( a\,c+{b}^{2}\right) \,x\,{y}^{2}+2\,b\,c\,{x}^{2}\,y+{c}^{2}\,{x}^{3}=c\cdot\,\left( {x}{1}^{3}\,{c}^{2}+2\,{x}{1}^{2}\,{y}{1}\,b\,c+{x}{1}^{2}\,{z}{1}\,a\,c+{x}{1}\,{y}{1}^{2}\,a\,c-3\,{x}{1}\,{y}{1}\,{z}{1}\,c+{y}{1}^{3}\,c+{x}{1}\,{y}{1}^{2}\,{b}^{2}+{x}{1}\,{y}{1}\,{z}{1}\,a\,b+{y}{1}^{3}\,a\,b-{x}{1}\,{z}{1}^{2}\,b-{y}{1}^{2}\,{z}{1}\,b+{y}{1}^{2}\,{z}{1}\,{a}^{2}-2\,{y}{1}\,{z}{1}^{2}\,a+{z}{1}^{3}\right)\cdot \,\left( {x}{2}^{3}\,{c}^{2}+2\,{x}{2}^{2}\,{y}{2}\,b\,c+{x}{2}^{2}\,{z}{2}\,a\,c+{x}{2}\,{y}{2}^{2}\,a\,c-3\,{x}{2}\,{y}{2}\,{z}{2}\,c+{y}{2}^{3}\,c+{x}{2}\,{y}{2}^{2}\,{b}^{2}+{x}{2}\,{y}{2}\,{z}{2}\,a\,b+{y}{2}^{3}\,a\,b-{x}{2}\,{z}{2}^{2}\,b-{y}{2}^{2}\,{z}{2}\,b+{y}{2}^{2}\,{z}{2}\,{a}^{2}-2\,{y}{2}\,{z}{2}^{2}\,a+{z}{2}^{3}\right)$$

$$x={x}{1}\,{x}{2}\,c+{y}{2}\,\left( {z}{1}-{y}{1}\,a\right) +{y}{1}\,{z}{2},$$ $$y={y}{2}\,\left( {x}{1}\,c+{y}{1}\,b\right) +{y}{1}\,{x}{2}\,c+{z}{1}\,{z}{2},$$ $$z={y}{2}\,\left( {y}{1}\,c+{z}{1}\,b\right) +{z}{2}\,\left( {x}{1}\,c+{y}{1}\,b+{z}{1}\,a\right) +{z}{1}\,{x}_{2}\,c.$$