$n$ es un número entero positivo y que $p$ un primer divisor de $n^{54}+n^{27}+1$. Probar si $p \ne 3$ y $ord_p(n) = 81$ y $p \equiv 1 \pmod {81}$

Question

examen de preguntas de práctica.

Me siento como que estoy haciendo algunos bastante inútiles intentos de aquí y agradecería comprensión y ayuda!

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

Primero de todo, creo que la pregunta puede ser formulada mal, porque no parecen sostener que $2^n \equiv 1 \pmod 2$ cualquier $n$.

Así que sólo considere el $p > 3$, Ya que el $p |n^{54}+n^{27}+1$

$$ \implies n^{54}+n^{27} \equiv -1 \pmod p$$ Cuadrado ambos lados, y usando el teorema de Fermat se obtiene:

$$ n^{p-1} \equiv n^{108}+2n^{81}+n^{54} \equiv 1 \pmod p$$

Ahora sé que en última instancia, quiero mostrar que la $n^{81} \equiv 1 \pmod {p}$, e $81$ es el menor entero tal que así sea, y que $p-1=81k$. También sé que $ord_p(n) = j | p-1$, pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí?

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

$$n^{54}+n^{27}+1\equiv 0\pmod p\implies (n^{27}-1)(n^{54}+n^{27}+1)\equiv 0\implies n^{81}-1\equiv0\pmod p$$

De este, ord_ $\displaystyle_pn|81$

Ahora, si ord_ $\displaystyle _pn|27, n^{27}\equiv1,n^{54}\equiv1\pmod p\implies n^{54}+n^{27}+1\equiv 3\pmod p$

$\displaystyle n^{54}+n^{27}+1\equiv 0\pmod p\implies 3\equiv0\mod p\implies 3|p$

Así que, si $3\not|p, $ord_ $\displaystyle _pn\not|27$

Answer 2

Observar $54=2\cdot27$ lo $n^{54}+n^{27}+1=\displaystyle x^2+x+1=\frac{x^3-1}{x-1}$ donde $x=n^{27}$.

Argumentan que el $x\not\equiv1$ (via $p\ne 3$), así que una unidad mod $x-1$ $p$. Ahora ¿Cuál es el orden de los $x$mod $p$?