Si$\mathbf A$ es cualquier matriz cuadrada no singular de la dimensión$n \times n$. Y$\mathbf B$ es una matriz$n \times m$ con$\mathrm{rank(\mathbf B)} = m$. ¿Es suficiente la condición de rango completo de la matriz$\mathbf B$ tanto como sea necesario para indicar que el producto de la matriz$\mathbf {B^TAB}$ no es singular?
es decir, podemos escribir:
$ \mathbf {A}$ es no singular$\iff$$\mathrm{rank(\mathbf B)} = m$ y$\mathbf {B^TAB}$ no es singular
Nope, la afirmación no es verdadera en este formulario. Un ejemplo sencillo es: $$ B=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}. $$ A continuación, $\mathrm{rank}(B)=1$ $B^TAB=1$ es no-singular, sino $A$ es singular. Si $$ B=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}, $$ entonces $\mathrm{rank}(B)=1$, $A$ no es singular, sino $B^TAB=0$ es singular.
La condición de $B^TAB$ $\mathrm{rank}B=m$ no necesita ser suficiente para la no singularidad de $A$, ya que las condiciones de imponer una especie de "no-singularidad en un restringido subespacio", que obviamente no necesita ser suficiente para que el "no-singularidad de la totalidad". Por otro lado, un no-singular $A$ no implica que $x^TAx\neq 0$ (por ejemplo, indefinido matrices simétricas).
NOTA: $\mathrm{rank}(B)=m$ debe ser en realidad una hipótesis de la equivalencia (si hay alguna) como la no singularidad de $A$ y el rango completo de $B$ son completamente independientes de las cosas (no-singularidad de $A$ no implica nada sobre el rango de $B$).
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