En cuanto a la última pregunta, no estoy seguro de tu nivel en la teoría de la representación, pero el siguiente hecho es cierto: toma so(d,2) (necesitamos so(3,2) para este trabajo), utiliza la base conforme, es decir, los generadores de Lorentz $L_{ab}$ , traducciones $P_a$ , refuerzos conformes $K_a$ y la dilatación $D$ , $a,b=1..d$ . $P$ y $K$ se comportan como generadores de subida/bajada con respecto a $D$ , $[D,P]=+P$ , $[D,K]=-K$ . Tomar el vacío para llevar una representación de spin-s del álgebra de Lorentz y un peso $\Delta$ con respecto a $D$ es decir $|\Delta\rangle^{a_1...a_s}$ . Cuando $\Delta=d+s-2$ hay un vector singular, $P_m|\Delta\rangle^{ma_2...a_s}$ . Se trata de una teoría de la representación estándar: encontrar operadores de subida/bajada, definir el vacío, buscar vectores singulares. En realidad, los vectores singulares son exactamente las ecuaciones conformes-invariantes que uno puede imponer.
En el lenguaje del campo esto significa que $\partial_m J^{m a_2...a_s}=0$ es una ecuación conformacionalmente invariante si la dimensión conformacional de $J$ es $\Delta=d+s-2$ . A pesar de que $J^{a_1...a_s}$ es un buen operador conforme para cualquier valor de la dimensión conforme, sólo para $d+s-2$ su divergencia se desacopla. (Tal vez haya visto $L_{-2}+\alpha L_{-1}^2$ como vector singular en el álgebra de Virasoro, ahora se sustituye por $P_m$ o $\partial_m$ ).
Ahora, habiendo $J^{a_1..a_s}$ de peso $\Delta$ podemos considerar su representación en contragradiente o en el lenguaje de campo acoplarlo a través de $\int \phi_{a_1..a_s}J^{a_1...a_s}$ a algún otro campo $\phi$ . Que necesitemos un acoplamiento conformemente invariante implica $\Delta_\phi=d-\Delta_J=s-2$ . No es de extrañar que deba ocurrir algo especial para $\Delta_J=d+s-2$ .
$$\int (\phi_{a_1...a_s}+\partial_{a_1}\xi_{a_2...a_s})J^{a_1...a_s}=\int \phi J-\int \phi_{a_1...a_s}\partial_m J^{ma_2..a_s}=\int \phi J$$ vemos que un enunciado que es dual a la conservación de $J$ es la invariancia gauge de $\phi$ .
Todavía no he leído el artículo, pero por lo que veo juegan con la dimensión de $J$ y para $d+s-2$ y $2-s$ describe un tensor conservado y un campo gauge sólo por la teoría de representación del grupo conforme (desacoplamiento de ciertos estados nulos). En cualquier momento de tiempo en el papel $J$ tiene alguna dimensión fija y es un tensor conservado, un campo gauge o simplemente un campo conformado de espín de dimensión genérica $\Delta$ .
En la penúltima, tienes razón en que la invariancia gauge tiene poco que ver con la conformalidad. La respuesta depende del espín y de la dimensión. Para $s=0$ hay $m^2$ para el que el escalar es conforme. Para $s=1$ y ciertos $m^2$ el campo de Maxwell es un campo gauge pero la ecuación de Maxwell es conforme en $d=4$ sólo. Más allá de $d=4$ un campo gauge de espín uno no es conforme, o un campo conforme de espín uno no es un campo gauge. Para $s\geq2$ la situación es aún más complicada: en $AdS_4$ los campos gauge son conformes, pero en el espacio de Minkowski no son conformes (en términos de potenciales gauge $\phi_{\mu_1...\mu_s}$ ). Puede echar un vistazo a http://arxiv.org/abs/0707.1085
En cuanto a la segunda, en primer lugar la transversalidad está en el lugar correcto en 5.1. En segundo lugar, tu confusión (inspirada en mi respuesta a otra pregunta) es que hay dos clases diferentes de campos en los que la gente está interesada. La primera es la clase de partículas habituales, en la que hablamos de representaciones del álgebra de Poincare $iso(d-1,1)$ si estamos en $d$ -espacio de Minkowski o $so(d-1,2)$ y $so(d,1)$ si estamos en anti de Sitter o en de Sitter (ahí necesitamos armonicidad, no trazabilidad, transversalidad). Los campos conformes están en la segunda clase. Conforme significa que debe ser una representación del grupo conforme $so(d,2)$ para Minkowski- $d$ , tenga en cuenta que $iso(d-1,1)\in so(d,2)$ . El grupo conforme de anti de Sitter- $d$ también es $so(d,2)$ . Nótese que el álgebra de simetría de AdS- $(d+1)$ es exactamente el grupo conforme de Minkowski- $d$ . Por lo tanto, cuando hablamos de campos conformes, nos interesan las representaciones de $so(d,2)$ (la firma puede variar según el problema, es alguna forma real de $so(d+2)$ ). Me gustaría destacar que los campos conformes en d-dimensiones están en correspondencia uno a uno con los campos habituales en $AdS_{d+1}$ para que el álgebra sea la misma, que es el núcleo de la correspondencia AdS/CFT.
Por ejemplo, un giro- $0$ en el espacio de Minkowski obedece a $\square \phi=0$ . Da lugar a una representación irreductible de $iso(d-1,1)$ . Casualmente, la misma representación resulta ser una representación irreducible de un álgebra mayor, $so(d,2)$ , el álgebra conformacional. Es una coincidencia. También existe un espín- $0$ campo conformado de peso $\Delta$ , digamos que $\phi_\Delta(x)$ . Sin imponer ninguna ecuación es una representación irreducible de $so(d,2)$ . Como representación de su subálgebra $iso(d-1,1)$ se descompone en un intergral de representaciones (Fourier) y es altamente reducible. Hay un peso especial $\Delta=(d-2)/2$ para lo cual $\phi_\Delta(x)$ es reducible y el desacoplamiento de los estados nulos se consigue mediante $\square \phi=0$ (análogo a la conservación de $J$ arriba). Tenga en cuenta que $J$ anterior es una representación irreducible de $so(d,2)$ pero es altamente reducible bajo $iso(d-1,1)$ . Para el peso especial $d+s-2$ tenemos que imponer la condición de conservación para proyectar los estados nulos, pero de nuevo el tensor conservado es un irreducible de $so(d,2)$ y reducible bajo $iso(d-1,1)$ . Así que tu confusión se debe a que los campos son conformes, estos son representaciones de un álgebra mayor, son más "gordos" y requieren menos ecuaciones (incluso ninguna) para proyectarse sobre un irreducible.
$S^3$ es el análogo de Minkowski- $3$ (compactado y euclidiano), entonces $so(4)$ es el análogo de $iso(3,1)$ y se interesan por las funciones normalizables, que son los armónicos esféricos o los polinomios en función de las coordenadas. Luego discuten el etiquetado de estas representaciones utilizando $so(4)\sim su(2)\oplus su(2)$ y proceder a hacer algunas integrales.
