Segundo derivado de $e^{-\frac 1{x(1-x)}}$ $x=0$

Question

Definir $f:\Bbb R\to \Bbb R$ $$f(x)=\left\lbrace\matriz {e^{-\frac 1{x(1-x)}} & \text{si $0<x<1$}\\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ & \text{en caso contrario}\hfill} \right.$$ Show that $f"(0)$ existe y encontrar su valor.

Esta es una pregunta extra que fue dado en una reciente prueba y que no puedo averiguar cómo hacerlo. Parece que no se supone que estamos realmente tomar la derivada de la ecuación de tres veces, debido a que los llevaría para siempre. Podría alguien tal vez caminar a través de mí? Estoy bastante seguro de que voy a mostrar en un examen.

Answer 1

Sugerencia: Demostrar por inducción que el derivado de #%-th de $n$% #% es de la forma $f$ $ donde $$f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}f(x)$ y $P_n$ son polinomios cuyos coeficientes dependen de $Q_n$.

Answer 2

SUGERENCIA

Sabemos que

• $\lim_{x\to 0^-} f''(x)=0$

Qué dices

• $\lim_{x\to 0^+} f''(x)=?$