Vamos $$\Lambda(n) = \begin{cases} \ln p &\quad \text{if } n = p^{\alpha} \text{ where } \alpha\geq 1 \\ 0 &\quad \text{otherwise} \end{casos}$$ y vamos a $$ \psi(n)=\sum_{m=1}^{n} \Lambda(m) $$ Tengo que demostrar que $$ e^{\psi(2n+1)} \int_{0}^{1} x^{n} (1-x)^n dx $$ es un entero positivo, y deducir $$ \psi(2n+1) \geq 2n \ln 2 $$
Aquí es lo que yo pienso:
Ya he deducido que el $e^{\psi (n)} = \text{lcm}(1,2,3,...,n) $. Así \begin{align*} e^{\psi(2n+1)} \int_{0}^{1} x^{n} (1-x)^n dx &= \text{lcm} ( 1,2,...,2n+1 ) \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\\ &= \text{lcm} ( 1,2,...,2n+1 ) \frac{n!}{2^n(2n+1)!!} \end{align*} Deje $\{p_n\}$ ser la secuencia de los números primos con la monotonía orden creciente, y deje $P=\{p_n\} \cap \{1,2,3,...,2n+1\} = \{p_1, p_2,...,p_k\}$. Deje $\alpha_k = \max\{ m| p_k^m \in \{1,2,...,2n+1\} \}$. A continuación,$\text{lcm}(1,2,3,...,2n+1)= \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i}$. \begin{align*} \text{lcm} ( 1,2,...,2n+1 ) \frac{n!}{2^n(2n+1)!!} &= \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i} \frac{n!}{2^n(2n+1)!!} \end{align*} No puedo seguir más. Me parece que se deben considerar dos casos al $n$ es par o impar. Pero el proceso se complica. Cualquier ayuda es muy apreciada.
