Demuestre o desmienta que exista$x_{i}$ such$\frac{\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(x_{i}-x_{j})}{(n-1)!}\in Z$

Question

conjetura：

para cualquier enteros $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$, existe un entero $x_{i}(i\in\{1,2,\cdots,n\})$ tal $$\dfrac{\displaystyle \prod_{j=1,j\neq i}^{n}(x_{i}-x_{j})}{(n-1)!}\in Z$$

La aparentemente obvia conclusión, aparentemente, no una prueba, por supuesto, el problema puede no ser la correcta

parece referirse a este problema, .:La prueba directa de Gelfand-Zetlin identidad y aquí y aquí 2de identidad, pero que son más fuertes que este

Answer 1

Considere la posibilidad de $n=5$$\{x_1,\cdots,x_5\}=\{1,2,4,6,7\}$, y deje $P_i=\frac{1}{(n-1)!}\prod_{j\neq i}(x_j-x_i)$. Entonces

\begin{align*} P_1 &= \frac{1\times3\times5\times6}{4!} = \frac{15}{4}, \\ P_2 &= \frac{(-1)\times2\times4\times5}{4!} = -\frac{5}{3}, \\ P_3 &= \frac{(-3)\times(-2)\times2\times3}{4!} = \frac{3}{2}, \\ P_4 &= \frac{(-5)\times(-4)\times(-2)\times1}{4!} = -\frac{5}{3}, \\ P_5 &= \frac{(-6)\times(-5)\times(-3)\times(-1)}{4!} = \frac{15}{4} \end{align*}

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La afirmación es verdadera cuando $n \leq 4$. Ya casi es claro al $n \leq 3$, se demuestra que el reclamo por $n=4$.

Deje $x_1,\cdots,x_4$ ser arbitraria de números enteros. Por el principio del palomar, no existe $a, b \in \{1,2,3,4\}$ tales $a \neq b$$x_a \equiv x_b \text{ (mod 3)}$. Ahora

• Si $x_a \equiv x_b \text{ (mod 2)}$, $x_b - x_a$ es un múltiplo de a $6$.

• Si $x_a \not\equiv x_b \text{ (mod 2)} $, entonces para cualquier $j \in \{1,2,3,4\}\setminus\{a,b\}$ $x_j - x_a$ o $x_j - x_b$ es incluso.

En ambos casos, cualquiera de las $\prod_{j\neq a} (x_j-x_a)$ o $\prod_{j\neq b} (x_j-x_b)$ es un múltiplo de a $6$.