Tengo problemas para encontrar ejemplos detallados de factorización de primos en campos numéricos. Aquí está la pregunta que estaba trabajando:
Encuentre la descomposición del ideal primo de $p\mathcal{O}_L$ para cada primo $p \in \{2,3,5\}$ donde $L=\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)$ . Determine el grado de inercia y el índice de ramicación para cada caso.
Me parece que $L/\mathbb{Q}$ es normal y $Gal(L/ \mathbb{Q})$ es $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z} \times \mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ . También desde $d_L=2^8.3^2$ , los primos 2 y 3 se ramifican en $L$ pero el 5 no.
No pude avanzar más en proberancia. Cualquier ayuda sería muy apreciada. O cualquier otro ejemplo concreto estaría bien.
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En primer lugar, demuestre que $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ Si aún no lo has hecho. Ahora investiga cómo se divide cada uno de estos primos en los campos intermedios $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ y utilizar el hecho útil de que la ramificación $e$ y grados de inercia $f$ son multiplicativos en las torres.
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(el algoritmo general consiste en factorizar un $p$ -integral mínimo polinómico mod $p$ pero puede ser un dolor de cabeza calcular tal polinomio, y por eso cuando podemos reducir el problema a un caso fácil de trabajar como los campos cuadráticos, deberíamos)