Límite de la resta de dos logaritmos

Question

Tengo el problema con el cálculo de dicho límite:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{\ln(n)}}{2^n}$$

Después de algunas transformaciones, me las arreglé para llegar a:

$$e^{\lim_{n\to\infty}((\ln n)^2 - n\ln(2))}$$

aunque yo no puedo hacer nada más que eso. Creo saber el resultado desde el principio, pero yo no puedo ir más allá de este momento. Como hay una diferencia en el límite, no estoy seguro de cómo debo lidiar con esto. Yo creo saber que $n\ln(2)$ crece asintóticamente más rápido, pero no es prueba suficiente para decir que el límite de que la resta es $-\infty$, y, para el primer límite: $e^{-\infty} = 0$.

Larga historia corta: ¿cómo puedo resolver esta parte? $$\lim_{n\to\infty}((\ln n)^2 - n\ln(2))$$

Answer 1

Para cualquier $k$, $$\begin{align} \frac{\log(n)}n &=\frac1n\int_1^n\frac1x\,\mathrm{d}x\ &=\frac1n\int_1^k\frac1x\,\mathrm{d}x+\frac1n\intk^n\frac1x\,\mathrm{d}x\[3pt] &\le\frac{\log(k)}n+\frac1k\frac{n-k}n\tag1 \end {alinee el} $$ tomando el límite de $(1)$, obtenemos $$ \lim{n\to\infty}\frac{\log(n)} n\le\frac1k\tag2 $$ desde $(2)$ es cierto para cualquier $k$, debemos tener $$ \lim{n\to\infty}\frac{\log(n)} n = 0\tag3 $$ por lo tanto, $$\begin{align} \lim{n\to\infty}\frac{\log(n)^2}n &=\lim{n\to\infty}\left(\frac{2\log\left(\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}}\right)^2\ &=4\,\left(\lim{n\to\infty}\frac{\log\left(\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}}\right)^2\[6pt] &=4\cdot0^2\[15pt] &=0\tag4 \end {alinee el} $$

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Ahora puede utilizar $(4)$ para evaluar \lim{n\to\infty}\left $$ (\log (n) ^ 2-n\log (2) \right) = \lim {n\to\infty} n\left (\frac {\log (n) ^ 2} n-\log (2) \right) \tag5 $$

Answer 2

SUGERENCIA

$$(\ln n)^2 - n\ln 2=(\ln n)^2\left(1-\frac{n\ln 2}{(\ln n)^2}\right)$$