Olimpiada Británica de Matemáticas (BMO) 2004 Ronda 1 Pregunta 1 enfoques alternativos?

Question

Las preguntas de los estados:

Resolver las ecuaciones simultáneas (que yo respectivamente etiqueta $ > \ref{1}, \ref{2}, \ref{3}, \ref{4}$)

$$\begin{align} ab + c + d &= 3 \tag{1} \label{1} \\ bc + d + a &= 5 \tag{2} \label{2} \\ cd + a + b &= 2 \tag{3} \label{3} \\ da + b + c &= 6 \tag{4} \label{4} \end{align}$$

donde $a,b,c,d$ son números reales.

He resuelto este sistema después de un buen rato tomando

$eqns$ 1 - 3 = $eqns$ 4 - 2

que los rendimientos de $a + c = 2$

Usted puede, a continuación, sustituir y encontrar el resto de variables

También me di cuenta de que $(a+1)(b+1) + (a+1)(d+1) + (c+1)(b+1) + (c+1)(d+1) = 20$ pero esa línea no me ayudan mucho.

Estoy interesado en ver los otros enfoques que pueden tomar las personas con este sistema.

Además, hay suficiente pista para tomar otra ruta? No me olvida una solución fácil?

Answer 1

Paso 1: obtener $a+c=2$.

Paso 2:

Tenga en cuenta % $ $$ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)$

Agregar cuatro ecuaciones da $$(a+c)(b+d)+2(a+c)+2(b+d)=16$ $ $$(a+c)(b+d+2)+2(b+d+2)=20$ $ $$(a+c+2)(b+d+2)=20$ $

Tenemos $a+c=2$ $b+d=3$.

Paso 3:

Más manipulación, de 1-2 +3-4 da $$(a-c)(b+d)=6$ $

Así, $a-c=2$.

Por lo tanto, tenemos $a=2, c=0$.

Paso 4: poner $a,c$ en 1, $$2b+d=3$ $ $b+d=3$, $b=0, d=3$.

Answer 2

Aquí está una manera después de recibir $a+c=2$.

% Ecuación de tomar $2$restar ecuación $1$ a $(b-1)(c-a)=2$.

Asimismo, tomar ecuación $3$ restar ecuación $4$ a $(d-1)(c-a) = -4$.

Finalmente, vemos que\begin{align} \frac{b-1}{d-1}=\frac{(b-1)(c-a)}{(d-1)(c-a)}= -\frac{1}{2} \ \ \implies \ \ 2b+d =3. \end {alinee el}

A continuación, tome la ecuación $1$plus ecuación $2$ a $b(a+c)+(a+c)+2d=8$ que implica $b+d = 3$ desde $a+c=2$.

Ahora, vemos que el $b=0$ y $d=3$. Usando la ecuación $2$, tenemos que $a=2$ y $c=0$.

Answer 3

Mi enfoque fue $A=a-1,B=b-1,C=c-1,D=d-1$ modo que conseguir\begin{align} AB + A + B + C + D &= 0 \ BC + A + B + C + D &= 2 \ CD + A + B + C + D &= -1 \ AD + A + B + C + D &= 3. \end {Alinee el} dejar $S = A+B+C+D$, tenemos $ABCD = (-S)(-1-S) = (2-S)(3-S)$ % que $S=1$y por lo tanto\begin{align} AB &= -1 \ BC &= 1 \ CD &= -2 \ AD &= 2. \end {Alinee el} esto nos da $A = -\frac1B$, $C = \frac1B$ y $D = -\frac2C = -2B$.

De $A+B+C+D=1$, tenemos, % o $-\frac1B + B + \frac1B - 2B = 1$ $B = -1$. Entonces podemos resolver $A,C,D$ y finalmente conseguir $a,b,c,d$.