Módulo gratuito sobre PID y herencia de estructura algebraica

Question

Deje $O_K$ ser un discreto anillo de valoración y $\pi$ es su uniformizer.(Esto debería haber sido un anillo de valoración asociados a la concurrencia de un discreto con valores de campo $K$.) Considere la posibilidad de $E/K$ finito separables de extensión. A continuación, $O_E$(integrante cierre de $O_K$$E$) es una f.g. módulo de rango $[E:K]$.

Dice el libro "$O_E$ es un módulo de rango $[E:K]$. A continuación,$O_E\cong\varprojlim\frac{O_E}{\pi^nO_E}$"

$\textbf{Q:}$ Si $O_E$ es un módulo más de $O_K$, entonces me puede pasar el límite inversa a través de sus componentes como el tensor de viajes con suma directa. Necesito la finitud de la condición como suma directa directa es el límite que no conmuta con límite inversa en los géneros. Por lo que se vuelven en contra de la finalización $O_K$ y la finalización de la $O_K$$O_K$. Así que he a $O_E\cong\varprojlim\frac{O_E}{\pi^nO_E}$ isomorfo como $O_K$ módulo. ¿Cómo puedo heredar estructura algebraica? Tenga en cuenta que me han proporcionado un $O_K$ mapa del módulo. Necesito un anillo mapa de ahora.

Esto está relacionado con pg 106 de Taylor, Frohlich la Teoría Algebraica de números de la prueba algebraica de la singularidad de valor absoluto.

Mi conjetura es que primero $O_E\cong O_E\otimes_{O_K}O_K$. Desde $O_K$ es completa, sé que $O_E\otimes_{O_K}O_K\cong O_E\otimes_{O_K}\hat{O_K}$. Por lo $O_E\otimes_{O_K}\hat{O_K}\cong\varprojlim\frac{O_E}{p^nO_E}$. Luego heredar el anillo de structre de $O_E\otimes_{O_K}\hat{O_K}$ lado.

Answer 1

Giro mi comentario en un poco más de tiempo de respuesta:

Quiere mostrar que hay un isomorfismo de anillos de $O_E\overset{(*)}\to \varprojlim\frac{O_E}{\pi^nO_E}$. Mientras que usted tiene una buena idea de cómo atacar este problema, la solución propuesta contiene una gran cantidad de misterioso no especificado isomorphisms, tales como $O_E\cong O_K^{[E:K]}$. Hay varios problemas con este:

• El isomorfismo $O_E\to O_K^{[E:K]}$ es un mapa del módulo, como te has dado cuenta - y definitivamente no un anillo mapa en general. (Considere por ejemplo el mapa del módulo $\varphi: \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}^2$ envío de $a+bi$$(a,b)$: a continuación,$\varphi(i)^2 \neq \varphi(i^2)$.) Así, por tomar este paso, usted ha ya roto la estructura de anillo. No vas a ser capaz de concluir de esto que la estructura de anillo se conserva bajo su eventual mapa de $(*)$.
• El isomorfismo $$O_E\overset{(\dagger)}{\to} O_K^{[E:K]}$$ is not even unique. Likewise, in a later comment, you suggested using isomorphisms $$\left(\frac{O_K}{\pi^n}\right)^{[E:K]}\to \frac{O_K}{\pi^n}\otimes O_K^{[E:K]}\overset{(\ddagger)}{\to}\frac{O_K}{\pi^n}\otimes O_E$$, but this is of course also not unique. In fact, if you pick these isomorphisms at random, you're probably not going to end up with a ring map! The point is that these two isomorphisms need to be related: the ring structure that is broken by the map $(\daga)$ must be repaired by $(\ddagger)$.

La solución a ambos problemas es la de escribir su isomorphisms explícitamente, como funciones. (Elija una parte integral de la base de $E/K$, decir $x_1, \dots, x_n$ donde $n = [E:K]$...) Entonces, al final, usted puede componer todos juntos y conseguir una fórmula exacta para lo que su eventual mapa de $(*)$ a un elemento de $O_E$. Y si has configurado correctamente, y la elegida $(\dagger)$ $(\ddagger)$ correctamente, entonces es obvio que $(*)$ es un anillo mapa.