Problema integral recreativo:$\int_0^1 (x+\sqrt[3]{x^3-1})^{2018}dx$

Question

Tengo un problema integral (recreativo) que todos los habitantes interesados ​​de MSE disfrutan:

Evalúa la siguiente integral:$$\int_0^1 \bigg(x+\sqrt[3]{x^3-1}\bigg)^{2018}dx$ $

Lo prometo, no es de una competencia matemática en curso (acabo de poner el$2018$ para ser divertido). Si no me crees, puedes intentar resolver el problema con$1,000,000$ (o cualquier número par grande, en realidad) en lugar de$2018$.

¡Aclamaciones!

Answer 1

Escribe$$I = \int_0^1 \bigg(x+\sqrt[3]{x^3-1}\bigg)^{2018}dx.$ $ Realizando la sustitución$u^3 + x^3 = 1$, obtenemos$$I = \int_0^1 \frac{u^2}{\sqrt[3]{1-u^3}^2}\bigg(u+\sqrt[3]{u^3-1}\bigg)^{2018}\,du.$ $ (El hecho de que$2018$ sea par es importante aquí, ya que elimina un signo menos dentro de los paréntesis). De ahí $$2I = \int_0^1 \left(\frac{u^2}{\sqrt[3]{1-u^3}^2}+1\right)\bigg(u+\sqrt[3]{u^3-1}\bigg)^{2018}\,du.$% $ Pero, si$v = u + \sqrt[3]{u^3-1}$ entonces$\frac{dv}{du} = \frac{u^2}{\sqrt[3]{1-u^3}^2}+1$, que es exactamente el factor de la izquierda. Por lo tanto,$$2I = \int_{-1}^1 v^{2018}\,dv=\frac{2}{2019}$ $ Therefore$I = \frac{1}{2019}$.