Sobre la ecuación diferencial $y'(x)=\cos(y(x))$

Question

He descubierto que para $x \in \mathbb{R}$ $$ y'\left(x\right)=\cos\left(y\left(x\right)\right) \Leftrightarrow y(x)=2\text{arctan}\left(\text{th}\left(\frac{x+K}{2}\right)\right). $$ Quería saber si existe una forma bonita de mostrar esto (me refiero a otra cosa que no sea integrar ambos lados). He hecho un puesto similar a esto hace algún tiempo, pero quería saber si imponiendo $y(0)=c$ provocaría la unicidad de la solución y si hubiera una forma de demostrarlo por contradicción. Es decir, si tenemos soluciones $y_1$ y $y_2$ con $y_1(0)=y_2(0)=c$ , sería capaz de demostrar que de hecho $y_1=y_2$ , tal vez usando eso $$ (\frac{y_1-y_2}{2})'(x)=\frac{\cos(y_1(x))-\cos((y_2(x))}{2}=-\sin\left(\frac{y_1-y_2}{2}\right)\sin\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right). $$

Answer 1

Faltan algunas ideas. Si $y(0) = \frac{\pi}{2}$ entonces $y$ es constante. Lo mismo para cualquier múltiplo impar de $\pi / 2.$

A continuación, los gráficos de las ODE de primer orden no pueden cruzarse ni tocarse. Esto es la unicidad.

A continuación, éste es autónomo. Dado $y(0) = c$ con cualquier $-\pi/2 < c < \pi/2,$ la solución es una traslación horizontal de esa solución con $y(0) = 0.$

A continuación, entre las soluciones estacionarias, las soluciones son asintóticas a aquellas. Sin embargo, en la losa alrededor de $y=0,$ las soluciones aumentan, por lo que la asíntota en $-\infty$ a $-\pi/2,$ frente a $+\infty.$ En la losa alrededor de $y=\pi,$ al revés (o al revés, como quieras).