¿Es correcto escribir $\int_a^x f(x) dx$ ?

Question

La pregunta lo resume todo. Hace unos días al estudiar cómo hallar la parte real de una función conociendo la parte imaginaria (o viceversa) me dieron esta fórmula: $$u(x, y) =\int_{x_0}^{x} \frac{\partial u} {\partial x} (x, y_0) \,dx + \int_{y_0}^{y} \frac{\partial u} {\partial y} (x, y)\, dy$$ ¿Es ésta una notación correcta? En caso negativo, ¿existe alguna prueba sencilla para convencer a alguien de que se trata de una notación incorrecta? Así que $\int_a^x f(x) \,dx$ o $\int_a^x f(t)\, dt$ ?

Answer 1

Según las convenciones habituales para operadores de enlace de variables las notaciones $\int_c^xf(x)dx$ y $\int_c^xf(y)dy$ son ambos correctos y significan lo mismo. Sin embargo, si quiere ser amable con sus lectores, le sugiero que evite utilizar $x$ como variable libre y variable ligada en una fórmula.

Answer 2

Yo diría que no es correcto ya que estás utilizando la misma letra para variable de integración y uno de los extremos de integración. Yo probablemente escribiría: $$\int_{x_0}^x \frac{\partial u}{\partial x^1}(x^1,x^2_0)\,dx^1+\int_{y_0}^y \frac{\partial u}{\partial x^2}(x^1,x^2)\,dx^2.$$

Answer 3

Es bastante incorrecto, porque el $x$ en el integrando es a ficticio es decir, ¿es n aparecen en el resultado, igual que cuando se escribe $$\sum_{k=1}^5 k^2,$$ $k$ no aparece en el resultado, ya que la forma cerrada de esta suma es $55$ . Aquí $k$ es sólo una variable temporal que te permite saber a qué paso del cálculo has llegado. Una vez finalizado el cálculo, la tiras. Lo mismo ocurre con las integrales.

Utilizando $x$ en ambos lugares me recuerda la frase de Groucho Marx: ' No quiero pertenecer a ningún club que me acepte como socio. '