He aquí un paso inicial que hace caso omiso de las posibles complicaciones en los diferentes parámetros.
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Deje que los arcos tienen radio de $r$ y el ángulo de $2\theta$ donde $\theta := \pi/n$. Uniendo los centros de los arcos crea una cíclico equilátero $2p$-gon (para algunos $p$) de los bordes de la longitud de la $2r$. (Los puntos medios de las aristas son los "puntos de inflexión" en el camino, donde las agujas del reloj arcos encontrar en contra de las manecillas del arco.) El $2p$-gon suplentes interior de los ángulos $2i\theta$ y ángulos externos $2j\theta$. Uniendo los vértices de la $2p$-gon a su centro crea $2p$ triángulos congruentes, uno de los cuales está marcado $\triangle AOB$ en la figura.
La zona de la ruta de acceso interior, es el área de la $2p$-gon, además de la zona aportado por los sectores delimitada por la "$j$" arcos, menos el área aportado por los sectores delimitada por la "$i$" los arcos.
$$2p\;|\triángulo AOB| \;+\; p\cdot\frac12r^2\cdot 2j\theta \;-\;
p\cdot\frac12 r^2\cdot 2\theta
\;=\; 2p\;|\triángulo AOB| \;+\; pr^2(j-i)\theta \etiqueta{$\star$}$$
Los ángulos en los $A$ $B$ son la mitad de la poligonal de los ángulos interiores: $\angle A = i\theta$$\angle B =(n-j)\theta$. Por lo tanto, $\angle O = \pi - \angle A - \angle B = (j-i)\theta$. Vemos, entonces, que el número de triángulos (es decir, el número de lados del polígono) es $2p = 2\pi/\angle O$, por lo que el $p = n/(j-i)$. (Desde $p$ debe ser un entero positivo, estamos evidentemente suponiendo que $j-i$ es positivo, y que se divide $n$.) Por lo tanto, $(\star)$ se convierte en
$$\frac{2n}{j-i}\;|\triangle AOB| \;+\; \pi r^2 \tag{$\estrellas\estrella de$}$$
Pasemos a ese triángulo. Por la Ley de los Senos,
$$\frac{2r}{\sin(j-i)\theta} = \frac{|OA|}{\sin(n-j)\theta} = \frac{|OB|}{\sin i\theta}$$
Por lo tanto,
$$\begin{align}|\triangle AOB| &= \frac12|OA||OB|\sin\angle O \\[4pt]
&=\frac12\cdot \frac{2r \sin(n-j)\theta}{\sin(j-i)\theta} \cdot \frac{2r \sin i\theta}{\sin(j-i)\theta}\;\sin(j-i)\theta \\[4pt]
&=2r^2\;\frac{\sin i\theta \sin(n-j)\theta}{\sin(j-i)\theta}
\end{align}$$
y el área encerrada por la trayectoria del robot es (tal vez)
$$\pi r^2 + \frac{4nr^2}{j-i}\;\frac{\sin \dfrac{\pi}{n} i\; \sin\dfrac{\pi}{n}(n-j)}{\sin\dfrac{\pi}{n}(j-i)} \tag{$\estrellas\estrellas\estrella de$}$$
La interesante parte parece ser que la contribución neta de los sectores es independiente de $i$, $j$, y $n$. Que es específicamente el área de un círculo completo sugiere que una "liquidación" número de componente se esconde en algún lugar. Tal vez hay una forma elegante para parametrizar la ruta de acceso y el invocar Verde del Teorema. $\square$
Por ejemplo, la imagen de arriba muestra el $(1, 2)$-camino, $(1, 3)$-camino, $(1, 4)$-camino,
$(2, 3)$-camino, $(2, 4)$de la ruta, y $(3, 4)$camino de $5$-robot.
