Demostrando el número de raíces reales de un polinomio cúbico corresponde al discriminante utilizando teoría de Galois

Question

Quiero probar que un % polinomio cúbico $f$con coeficientes reales tiene 3 raíces reales iff $\Delta(f) > 0$ y $f$ 1 raíz real iff $\Delta(f)

Pude hacerlo multiplicando sólo al discriminante, pero mi profesor dice que también hay una manera de hacer esto usando $\operatorname{Gal}_\mathbb{R}(f)$. ¿Cómo funcionaría?

Answer 1

Por hipótesis, $F\in K[X]$ es un cúbicos, con $K\subset \mathbf R$. El grupo de Galois $G$ de la división de campo de la $f$ $K$ es un subgrupo de $S_3$. Un a priori $f$ $3$ bienes raíces,o $1$ real y $2$ complejo conjugado raíces.

• si $f$ es irreducible sobre $K$, la orden de $G$ es un múltiplo de a $3$, por lo tanto $G=S_3$ o $A_3$ ( $C_3$ ), y $G=C_3$ fib $G$ es generado por una permutación circular de la $3$ raíces. Esto significa, escrito $\Delta=D^2$ (ovious notation), que $G$ corrige $D$, y el discriminante es un cuadrado en $K$, o, equivalentemente, $\Delta>0$
• si $f$ es reducible$K$, $f=(X-a)g$ donde $a\in K$ $g$ es irreductible, por lo tanto no tiene raíz en $K$; o $f$ se divide en $K$, y de nuevo $G$ corrige $D$ $\Delta$ es un cuadrado ./.