Mostrar $S^2$ y $\overline{Y}$ son independientes: buscar una solución a este problema de los libros de texto

Question

En Introducción a los modelos lineales generalizados por Dobson y Barnett, el ejercicio 1.4b&c es el siguiente:

Dejemos que $Y_1,...,Y_n$ sean variables aleatorias independientes, cada una con la distribución $N(\mu,\sigma^2)$ . Sea $\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$ y $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$ . ...

b. Demuestre que $S^2 = \frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\mu)^2-n(\overline{Y}-\mu)^2]$

c. De (b) se deduce que $\sum(Y_i-\mu)^2/\sigma^2 = (n-1)S^2/\sigma^2+[(\overline{Y}-\mu)^2n/\sigma^2]$ . ¿Cómo permite esto deducir que $\overline{Y}$ y $S^2$ son independientes?

Mi problema es que no veo cómo la ecuación en c permite responder a la pregunta en negrita.

Soy consciente de cómo demostrar que los 2 son independientes en general ( ya se ha preguntado antes ).

Además, cuando miro el soluciones dicen:

(c) y (d) se desprenden de los resultados de la p.10

En la página 10 lo más parecido que se puede utilizar es la propiedad reproductiva de la distribución chi-cuadrado, que no es una declaración if y only if, por lo que no creo que se pueda utilizar aquí.

Así que mi pregunta es, ¿cómo ayuda la ecuación de c) a demostrar la independencia?

Answer 1

No estoy seguro de lo que los autores tienen en mente, pero la solución más cercana que se me ocurre utilizando (c) es aplicar Teorema de Cochran . ¿Has cubierto eso, o tal vez un caso especial de ello?

Aquí está la prueba usando eso:

Dejemos que $Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$ así que $Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$ y $\bar Z \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$ . Tenga en cuenta que $$ \left(\frac{Y_i - \bar Y}{\sigma}\right)^2 = \left(\frac{Y_i - \mu}{\sigma} - \frac{\bar Y - \mu}{\sigma}\right)^2 = \left(Z_i - \bar Z\right)^2. $$ Ahora (c) nos dice $$ \sum_i Z_i^2 = \sum_i (Z_i - \bar Z)^2 + n\bar Z^2 $$ que podemos escribir como $\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ $$ Z^T Z = Z^T \left(I - \frac 1n \one \one^T\right)Z + Z^T\left(\frac 1n \one \one^T\right) Z. $$ $I - \frac 1n \one \one^T + \frac 1n \one \one^T =I$ y ambos son idempotentes por lo que el teorema de Cochran nos permite concluir que $\sum_i (Y_i - \mu)^2 \perp n(\bar Y - \mu)^2$ y el resto sigue.

$\square$

¿Podría ser eso lo que pretenden?