Suma de variables aleatorias normales independientes con coeficientes

Question

Estoy tratando de entender las transformaciones lineales en variables aleatorias (con coeficientes > 1).

Consideremos las dos variables aleatorias e independientes $X$ y $Y$ donde:

$$X \sim \mathcal{N}(0,1)\qquad Y \sim \mathcal{N}(-1, 2)$$

Estoy tratando de determinar la distribución de $Z = 2X + 3Y$ .

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El intento hasta ahora:

He definido el MGF de ambos $X$ y $Y$ como:

\begin{align*}M_X(s) &= \exp(s \mu + \sigma^2 s^2 / 2) = \exp(s^2/2)\\ M_Y(s) &= \exp(-s + s^2)\\ \end{align*}

Entonces el plan era calcular $U$ como:

$Z = 2X + 3Y = 2 \exp(s^2/2) \cdot 3 \exp(-s + s^2) = 6 \exp(3s^2/2 - s)$

Esto me llevó a un callejón sin salida y no estoy seguro de que este sea el enfoque correcto, el "nuevo" MGF no se parece exactamente a nada de lo que conozco.

He considerado usar una convolución para intentar resolver esto pero no estoy 100% de acuerdo con ese enfoque.

Hubo una mención en esta página de Wikipedia sobre cómo hacerlo para el caso de los coeficientes = 1 y que había un caso especial para los coeficientes > 1 (sin embargo no lo amplió).

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He hecho algunas simulaciones en MATLAB con un muestreo aleatorio de estos dos gaussianos y luego aplicando la transformación. Los resultados indican que la solución debería ser (suponiendo que el código es correcto):

$Z \sim \mathcal{N}(-3, 22)$

Answer 1

En primer lugar, permítanme señalar que no hay nada especial en tener los coeficientes de la combinación lineal sean menores o mayores que uno.

La función generadora de momentos se define como $$M_X(s)=\mathbb{E}[\exp\{sX\}]$$ cuando existe esta expectativa. Considerando una combinación lineal de variables aleatorias independientes, como $2X+3Y$ , conduce a la función generadora de momentos \begin{align} M_{2X+3Y}(s)&=\mathbb{E}[\exp\{s(2X+3Y)\}]\tag{definition}\\&=\mathbb{E}[\exp\{s2X\}\exp\{s3Y\}]\\&=\mathbb{E}[\exp\{2sX\}]\mathbb{E}[\exp\{3sY\}]\tag{independence}\\&=M_X(2s)M_Y(3s)\tag{identification}\\&=\exp\{4s^2/2\}\exp\{-3s+9s^2\}\tag{normality}\\&=\exp\{22s^2/2-3s\}\end{align} que identifica de forma única y perfecta un ${\cal N}(-3,22)$ distribución. Los mismos pasos se pueden utilizar para establecer que cualquier combinación lineal de dos variantes normales independientes es de nuevo una variante normal.

Answer 2

1. Utilice la MGF para determinar que una combinación lineal de variables aleatorias normales es normal. (La MGF define de forma única la distribución)

2. Dado que la suma de las normales es normal, tome la expectativa y la varianza de $2X + 3Y$ para encontrar los parámetros que rigen la distribución normal. Utiliza la propiedad de la varianza: $V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ si $X_i$ son independientes.

(Supongo que has cometido una errata al decir $Z = 2X + 3Z$ y significó $Z = 2X + 3Y$ ).

También: Su simulación es correcta.

Answer 3

No es necesario utilizar funciones generadoras de momentos. La suma de dos variables aleatorias normales independientes es normal con media igual a la suma de las medias y la varianza igual a la suma de las varianzas. También una constante c por una variable aleatoria normal es normal con media c $\mu$ donde $\mu$ es la media de la normal original y la varianza es igual a $c^2$ $\sigma^2$ donde $\sigma^2$ es la varianza de la normal original.

Teniendo en cuenta esto $2X$ es normal con media 0 y varianza 4. 3Y es noemal con media -3 y varianza 9(2)=18 Por lo tanto $2X+3Y$ es normal con media -3 y varianza 4+18 =22.