Integración de

Question

Mientras practicaba para el examen AP, encontré una integral que me pareció interesante e intenté hacer a mano:$$\int(\sec^4 x)\, dx$ $ Eventualmente me quedé atascado, pero aquí están los pasos que tomé-$$\int(\sec^4 x) \,dx$ $$$\int(\sec^2 x)(\sec x)(\sec x)\,dx$ $$$\int(\sec^2 x)(\sec x) (\frac{\tan x}{\sin x})\,dx$ $$$\int(\csc x)(\sec^2 x)(\sec x \tan x)\,dx $ $ Aplicar integración por partes$$(u=\csc x, dv=\sec^2 x(\sec x\tan x)$ $$$\frac{\sec^3 x}{3\sin x} + \int(\frac{\sec^3 x}{3})(\csc x \cot x) \,dx$ $$$\frac{\sec^3 x}{3\sin x} + {1\over 3}\int(\sec^2 x)(\csc^2 x) \,dx$ $ Aquí es donde me ato ... Aprecio cualquier ¡ayúdalo a ofrecer a dónde ir desde aquí!

Answer 1

$$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x.$ $ Por lo tanto$$\frac{d}{dx}\tan^3 x=3\sec^2x\tan^2x=3\sec^4x-3\sec^2x.$ $ So$$\frac{d}{dx}(\tan^3 x+3\tan x)=3\sec^4x.$ $

Answer 2

$I=\displaystyle\int\sec^4(x)\,dx$

$I =\displaystyle\int \sec^2(x)(1+\tan^2(x))\,dx$

$u=\tan(x)\implies \sec^2(x)\,dx =\,du$

$I = \displaystyle\int1+u^2\,du$

$I = u+\frac{u^3}3+C$

$I = \tan(x)+\frac{\tan^3(x)}3+C$

Answer 3

Como se observa aquí , podemos integrar los poderes de la secante con la integración por partes, a saber. $$\int\sec^{n+2}x\,dx=\sec^n x\tan x-n\int\sec^n x\tan^2 x \, dx = \frac{\sec^n x \tan x+n \int\sec^n x \, dx}{n+1}.$$This recursion allows us to go from $ \ int \ sec ^ 2 x \, dx = \ tan x + C$ to $$\int\sec^4 x \,dx = \frac{\sec^2 x \tan x + 2\tan x}{3}+C.$ $

Answer 4

ps

De hecho:

aplicar la posición$$\int \sec^4(x)\,dx=\frac{\left(\sqrt{\sec^2(x)-1}\right)^3}{3} + \sqrt{\sec^2(x)-1} + k, \quad k\in \mathbb R$, tenemos

$t=\sec(x)$ $ asumiendo$$\cdots =\int \frac{t^3}{\sqrt{t^2-1}}dt=*$. Usando otra posición$t\geq 0$ tenemos$y=\sqrt{t^2-1}$. Por lo tanto, esta última integral es fácil

ps

Sustituir$\int (y^2+1)\, dy$ y$$\int (y^2+1)\, dy=\frac{y^3}{3}+y+k$ tenemos

ps

Answer 5

Tu enfoque es un poco largo. Qué tal si $\sec^4x=(\sec^2x)(\sec^2x)=\sec^2x(\tan^2x+1)=\sec^2x\tan^2x+\sec^2x$. Ahora puedes integrar?

En general: siempre que tenga un poder EVEN de secante, la idea es "despegar" un$\sec^2x$ y convertir todos los demás$\sec^2x$ términos en$tan^2x+1$ términos. Es un poco molesto calcular el paréntesis en$(\tan^2x+1)^n$, pero eso es solo álgebra. Lo que sucederá es que terminará con términos tangentes que están acompañados con un$\sec^2x$ de términos, por lo que están listos para integrarse con la regla de poder.