Teoría del Grupo: ¿Qué significa para que permutaciones tener una paridad par o impar?

Question

Esto es algo que no entiendo. He leído que una permutación es que aunque se puede llegar por un número par de transposiciones. OK, pero entonces vamos a considerar el diedro grupo D3 para un triángulo equilátero.

Para el triángulo, las permutaciones son: la identidad de transformación, dos de 120 grados de rotación, y 3 volteretas sobre el eje de simetría. Lo que no entiendo es por qué los dos de 120 grados de rotación son considerados de paridad par. Podría por favor alguien que me explique? La identidad de la transformación es bastante fácil porque requiere 0 transformaciones para llegar allí.

Son las 3 volteretas sobre el eje de simetría incluso así? Después de todo, éstos pueden ser representados en la tabla de Cayley, que consta de 2 transformaciones así.

Answer 1

El grupo de $D_3$ es visto como un conjunto de transformaciones que actúan sobre los vértices del triángulo.

Si etiquetamos lo vértices $1$, $2$ y $3$, entonces las rotaciones de grado $120$ pueden escribirse en forma de permutación como $(1\;2\;3)$ y $(1\;3\;2)$ respectivamente. Pero tenemos

$$(1\;2\;3)=(1\;3)(3\;2) \qquad \text{and} \qquad (1\;3\;2)=(1\;2)(2\;3)$$

Por lo tanto, estas son incluso permutaciones.

Answer 2

Supongamos que el triángulo tiene un lado rojo (inicialmente, digamos) y un lado de color azul (en un principio). Cuando se le da la vuelta alrededor de un eje de simetría, que siempre va a cambiar el color de qué lado está. Esos son permutaciones impares.

Ahora suponga que hacer dos volteretas en una fila. El efecto sobre el color que vas a volver a donde estabas al principio. Estos son incluso permutaciones. Pero, ¿será la identidad de la transformación?

No necesariamente: sólo si las dos tirones eran en el mismo eje de simetría. Las otras veces que se ejecuta una de las dos $120$ grado rotaciones!

Una permutación es sólo un montón de independiente de los ciclos. Un ciclo es una permutación impar si tiene un número par de elementos, incluso si tiene un número impar de elementos. Esto es exactamente lo que se encuentra con $D_3$ aquí. Y una permutación es incluso exactamente si tiene un número impar de ciclos.

Sólo jugar con algunos pequeños grupos como se está haciendo hasta que te sientas cómodo con esta idea fundamental. Espero que esto ayude! Divertirse!

Answer 3

Una rotación de 120 grados envía $(A,B,C)$ $(B,C,A)$ y por lo tanto es igual a $(A,B,C) \mapsto (B,A,C)$ seguido de $(B,A,C) \mapsto (B,C,A)$, transposición de los dos.

Answer 4

Hay varios diferentes caracterizaciones de permutaciones que son equivalentes:

1. Se compone de un número par de transposiciones
2. Se compone de ciclos de número impar de elementos
3. Son miembros de la alternancia de grupo $A_n$
4. Representación de la matriz tiene determinante positivo
5. Preservar la orientación

Si usted está viendo la permutación grupo como actuar geométricamente, la última es más sobresalientes de lo contrario. Si nos fijamos en donde todos los puntos son relativos a cada uno de los otros, la identidad y los dos 120° rotaciones salir de estas relaciones sin cambios. Supongamos que forman un triángulo en la cara de un reloj, con un punto rojo en la 12, de color verde al 4, y el azul en 8. Los tres hasta permutaciones resultado en una configuración tal que va alrededor de las agujas del reloj desde el rojo, verde y azul. El extraño permutaciones resultado en configuraciones en las que, a partir de rojo y yendo hacia la derecha, de color azul y verde.

De forma equivalente, la identidad y los dos 120° rotaciones pueden ser realizados dentro del espacio que el triángulo está incrustado en; un triángulo puede ser rotado, mientras que queda en el plano. Físicamente reflejan un triángulo, sin embargo, requiere de rotación a través de tres dimensiones del espacio, en lugar de sólo el avión. En general, las permutaciones de $n$ elementos puede ser representado como acciones en los vértices de un $n-1$ regular simplex en $n-1$ espacio, donde incluso permutaciones corresponden a transformaciones rígidas dentro de ese $n-1$ espacio, mientras que las permutaciones impares corresponden a las permutaciones que requieren $n$ dimensiones a realizar.