¿Puede haber un $\aleph_2$ o aún mayor? Estuve leyendo acerca de prueba Diagonal de Cantor y aprendí acerca de $\aleph_1$ y $\aleph_0$. ¿Tiene sentido que haya un $\aleph_2$ utilizando el mismo método que Cantor pero en $\aleph_1$?
Respuestas
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spaceisdarkgreen
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La respuesta a la pregunta del título es sí. Hay un $\aleph_1$ $\aleph_2,$ $\aleph_3,$ $\aleph_4,$ etc. Incluso hay un $\aleph_\omega$ donde $\omega$ es lo mismo que $\aleph_0$ (sólo por lo general denotado $\omega$ en lugar de enfatizar que es natural pensar que es un ordinal aquí en lugar de un cardenal). Y luego está el próximo cardenal más grande que la de que: $\aleph_{\omega+1}.$ Y así sucesivamente. Para cualquier ordinal $\alpha$ hay un cardenal $\aleph_{\alpha.}$
La relación entre el $\aleph_1$ $2^{\aleph_0}$ - que es el cardenal que el Cantor de la prueba de muestra es estrictamente mayor que $\aleph_0$ - no es tan clara como su pregunta sugiere. Debido a $\aleph_1$ se define para ser el siguiente tamaño mayor que $\aleph_0,$ tenemos $2^{\aleph_0}\ge \aleph_1.$ Pero no son necesariamente iguales... la conjetura de que son iguales se llama la Hipótesis continua y es uno de los más legendarios de problemas en matemáticas. Se ha demostrado que no se puede demostrar de una manera o de la otra, sobre la base de la norma de los axiomas de la teoría de conjuntos (así como una gran cantidad de posibles axiomas que van más allá de la norma). Opiniones a través de los años sobre el tamaño de $2^{\aleph_0}$ van desde "es $\aleph_2$" a "es inmensamente grande, más grande que la de $\aleph_\omega$ ""$\aleph_1$ " (este es el CH y fue Cantor de la opinión, a pesar de que un conjunto de unos pocos teóricos parecen creer que a día de hoy) "no es un bien definidos problema".
(Edición: J. G. señaló en los comentarios, los "muy grandes" opción es consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos. De hecho hay una unboundedly gran clase de los alephs para que los axiomas no puede decidir si $2^{\aleph_0}$ es igual. Hay cardenales que nos puede demostrar que no es igual a $2^{\aleph_0};$ JG menciona, $\aleph_\omega$ es el más pequeño de tales. En realidad, es una simple condición (contables cofinality) que determina si un cardenal es demostrablemente no $2^{\aleph_0}$ o si es indecidible.)
El hecho de que en efecto se puede recorrer en Cantor del argumento como sugieren (lo que realmente muestra que para cualquier conjunto a $X,$ su poder establecer $\mathcal P(X)$ es estrictamente más grande) no significa que siempre podemos encontrar un conjunto más grande, por lo que garantiza la existencia de los alephs (aunque ver a Andrés de la respuesta sobre el papel del axioma de elección en todo esto... estoy asumiendo libremente), incluso si los conjuntos que se obtiene por la iteración no necesariamente corresponden a los sucesivos alephs. Hay un nombre para estos conjuntos, en realidad: el beths. Ellos se definen como $\beth_1 = 2^{\aleph_0},$ $\beth_2 = 2^{\beth_1},$ etc.
Greg Case
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Sí, hay un $\aleph_2$ e una $\aleph_3$, y hay alephs más allá de todas las $\aleph_n$.
Una versión adecuada del Cantor diagonal de la prueba es perfectamente general y se muestra que, para cualquier conjunto $X$, $|X|<|\mathcal P(X)|$. En particular, si $X$ tiene el tamaño de $\aleph_1$,$\mathcal P(X)$, el juego de poder de $X$, tiene un tamaño estrictamente más grande y por lo tanto admite un subconjunto de tamaño $\aleph_2$.
La forma más adecuada para definir $\aleph_1,\aleph_2,\dots$, sin embargo, es de considerar en primer lugar los ordinales y, a continuación, definir la subclase de los llamados inicial ordinales (estos son los alephs). Se puede demostrar, usando sólo las propiedades de los números ordinales, que, dado cualquier ordinal $\kappa$ hay un ordinal estrictamente de mayor tamaño. Este argumento, en particular, no requiere el uso del axioma de elección.
Por otro lado, para demostrar que si $|X|=\aleph_\alpha$ $\mathcal P(X)$ admite un subconjunto de tamaño $\aleph_{\alpha+1}$ hace uso de este axioma. Por ejemplo, es consistente con la teoría de conjuntos sin el axioma de elección que no existe ningún subconjunto de los reales (o, equivalentemente, de $\mathcal P(\mathbb N)$) de tamaño $\aleph_1$. Este es tal vez un poco confuso, pero sin el axioma de elección, muchos infinito cardenales son incomparables, y no puede ser cardenales para el que no tiene sentido hablar de el (o incluso un) menor mayor cardenal.
JiK
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Desde la formulación de su pregunta parece estar basada en confuso $2^{\aleph_0}$$\aleph_1$, y otras respuestas están hablando de $\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots$, voy a responder a la otra interpretación de la pregunta: hay un conjunto de más de $2^{\aleph_0}$, y puede ser construido con el mismo método.
La respuesta es sí, y en realidad bastante fácil. Para un conjunto $S$, considerar el conjunto de todos los subconjuntos de a $S$, llamado el juego de poder de $S$ y se denota por a $2^S$. Ahora Cantor de la diagonal argumento en el sentido más general dice que, para cada una de las $S$, la $2^S$ siempre ha estrictamente mayor cardinalidad de a $S$.
En particular, $\aleph_0$ es la cardinalidad de a $\mathbb{N}$, e $2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad de a $2^\mathbb{N}$ (el conjunto de los conjuntos de los números naturales). Así que sabemos que $2^{\aleph_0} > \aleph_0$. Ahora si se considera el conjunto de $2^\mathbb{N}$ y tomar el poder establecido de que, $2^{2^\mathbb{N}}$ (el conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos cuyos elementos son los subconjuntos de a $\mathbb{N}$), tiene cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ que a su vez es estrictamente mayor que $2^{\aleph_0}$.
O, más fácilmente: $2^{\aleph_0}$ también pasa a ser la cardinalidad de a $\mathbb{R}$ (el conjunto de los números reales). Así que si usted toma el poder conjunto de $\mathbb{R}$, se obtiene un conjunto de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$.
Y usted puede continuar tomando conjuntos de poder para obtener aún más grandes y más grandes conjuntos.
