Deje$A\in M_{n}(\mathbb R)$ y$tr(A^{m})=0$ para cada entero positivo$m$. ¿Es$A$ nilpotent? ¿Es$A^{2}-I$ invertable?
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Escribir $A$ en su Jordan en la forma: $A=SJS^{-1}$, $S$ invertible. Como $A^m=SJ^mS^{-1}$ todos los $m$$tr(SJ^mA^{-1})=tr(J^m)$, podemos trabajar directamente con $J$.
Desde $tr(J^m)=0$ todos los $m$ y la traza es lineal, llegamos a la conclusión de que $tr(p(J))=0$ por cada polinomio $p$ tal que $p(0)=0$.
Ahora, desde la $J$ es triangular superior, la diagonal de $p(J)$ se compone de $p(J_{11}),\ldots,p(J_{nn})$. Si una o más de las $J_{11},\ldots, J_{nn}$ es distinto de cero, podemos obtener un polinomio $p$ de manera tal que la diagonal de $p(J)$ ha de suma positiva; pero esto es una contradicción, lo que demuestra que la diagonal de $J$ es cero. Esto implica que $J$ es nilpotent, y así es $A$.
Para la última pregunta, $A^2-I=S(J^2-I)S^{-1}$. Desde $J^2-I$ es triangular superior con cada entrada en su diagonal igual a $-1$, su determinante es distinto de cero, y así es invertible.
