¿Cómo analizar el comportamiento asintótico de esta función integral?

Question

Basado en el análisis asintótico de las funciones de correlación a gran distensión en Física, ahora recibo una pregunta matemática. Deje que la función$$f(x)=\int_{-1}^{1}\sqrt{1-k^2}e^{ikx}dk.$ $

Sin resolver la forma explícita de esta función, ¿cómo sabemos el comportamiento asintótico de$f(x)$ en distence grande$\left |x \right |\rightarrow+\infty$?

Answer 1

Me va a manipular la integral en una forma que pueda analizar el método de la fase estacionaria. Deje $k=\cos{\theta}$, y la integral se convierte en

$$\begin{align}I(x) &= \int_0^{\pi} d\theta \, \sin^2{\theta} \, e^{i x \cos{\theta}}\\ &= \int_0^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} - \int_0^{\pi} d\theta \, \cos^2{\theta} \, e^{i x \cos{\theta}}\\ &= \int_0^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} + \frac{d^2}{dx^2} \int_0^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}}\end{align}$$

Ahora, tenga en cuenta que

$$\int_0^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} = \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} + \int_{\pi/2}^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} = 2 \Re{\left [ \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}}\right]}$$

Ahora, podemos aplicar la fase estacionaria. El punto fijo de el integrando es en $\theta=0$; de ahí, podemos aproximar el argumento de la exponencial por su expansión de Taylor. Además, debido a la oscilatorio cancllations, podemos simplemente dibujar el límite superior de la integral a lo infinito, a la primera orden:

$$\int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} \sim e^{i x} \int_0^{\infty} d\theta \, e^{-(i x/2) \theta^2} = \frac12 e^{i(x-\pi/4)} \sqrt{\frac{2 \pi}{x}} \quad (x\to\infty)$$

Por lo tanto

$$\int_0^{\pi} d\theta \, e^{i x \cos{\theta}} \sim \sqrt{\frac{2 \pi}{x}} \cos{\left ( x-\frac{\pi}{4}\right)}\quad (x\to\infty)$$

Para obtener el comportamiento asintótico de $I(x)$, parece que tenemos que tomar la segunda derivada de la anterior resultado. Resulta que

$$\frac{d^2}{dx^2} \left[x^{-1/2} \cos{\left ( x-\frac{\pi}{4}\right)}\right ]= \left (\frac{3}{4} x^{-5/2} - x^{-1/2}\right ) \cos{\left ( x-\frac{\pi}{4}\right)} + x^{-3/2}\sin{\left ( x-\frac{\pi}{4}\right)} $$

Tenga en cuenta que el $x^{-1/2}$ pieza cae cuando se combina con el original de la integral, y el $x^{-5/2}$ pieza es subdominante. Por lo tanto, el principal comportamiento asintótico de la integral de la $I(x)$ es finalmente

$$\int_{-1}^1 dk \, \sqrt{1-k^2} \, e^{i k x} \sim \sqrt{2 \pi} x^{-3/2} \sin{\left ( x-\frac{\pi}{4}\right)}\quad (x\to\infty)$$

Aquí es un gráfico que ilustra este comportamiento contra el valor exacto de la integral (la parte inferior de la parcela es el resultado asintótico derivados de aquí):

ANEXO

Una objeción a la mencionada derivación podría ser que he descuidado el siguiente término en la forma asintótica de la expansión de la primera integral de la $I(x)$, que sabemos que va como $A x^{-3/2} \sin{(x-\pi/4)}$. ¿Cómo podía ignorar eso? Resulta $I$ es la suma de este término y de su derivada segunda, y el único término que permanece $O(x^{-3/2})$ se desvanece porque es una sinusoidal simple término, la suma de sí misma y de su derivada segunda de fuga. Así, la derivación de la aproximación asintótica anterior sigue siendo válido.