Campos intermedios entre $\mathbb{Z}_2 (\sqrt{x},\sqrt{y})$ y $\mathbb{Z}_2 (x,y)$

Question

Dejemos que $K=\mathbb{Z}_2 (x,y)$ , donde $x,y$ son independientes, y $L$ sea una extensión del campo de división de $(X^2 - x) (X^2 - y)$ entonces $[L:K] = 4$ y $L = K(\sqrt{x},\sqrt{y})$ donde $\sqrt{x},\sqrt{y}$ son raíces de $X^2-x$ , $X^2 - y$ respectivamente. ¿Cuáles son las subextensiones de $L:K$ ?

Conozco todos los elementos en $L$ cuadrado a algo en $K$ por lo que todos los campos intermedios son $K(\sqrt{k})$ para algunos $k\in K$ pero algunos de ellos son los mismos, por ejemplo $K(\sqrt{x/y}) = K(\sqrt{xy})$ ...

Nota: $\mathbb{Z}_2$ significa $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$

Answer 1

No me gusta escribir raíces cuadradas, así que vamos a elegir $K = \Bbb F_2(X^2,Y^2)$ y $L = F_2(X,Y)$ . Desde $K \subset L$ es de grado $4$ cualquier campo intermedio es de grado $2$ . Como ha dicho, cada elemento de $L$ cuadrado a algo en $K$ (de hecho, el mapa $x \in L \mapsto x^2 \in K$ es un isomorfismo de campos), por lo que esos campos son los $K(a)$ para $a \in L \setminus K$ .

Los campos intermedios son los siguientes $2$ -dimensional $K$ -espacios vectoriales que contienen $K$ . Una dirección es obvia, y si $F = \langle 1,a \rangle$ es un espacio vectorial de este tipo, entonces $F$ es estable por multiplicación (porque $1 \cdot a = a \in F$ y $a \cdot a = a^2 \in K \subset F$ ), por lo que es el campo $K(a)$ .

Estos corresponden a $1$ -de los espacios vectoriales en el ( $3$ -dimensional) cociente $L/K$ y así a los elementos de $(L/K)^* / K^* \simeq \Bbb P^2(K)$ . Dado un elemento $[x:y:z] \in \Bbb P^2(K)$ podemos asociar $a = xX+yY+zXY$ y el campo intermedio $K(a)$ .

De todos modos esto significa que hay infinitos (porque $K$ es un campo infinito) campos intermedios.