Vea también Lista de los asuntos estocásticos de los procesos, y Categoría: Procesos estocásticos.

Question

Esta es mi primera vez de mirar los problemas en el cálculo estocástico, así que por favor, desnuda con la simplicidad de la pregunta. Como siempre, cualquier ayuda es muy apreciada.

1) Dada $X_t=\int_0^ur_sds$ para un determinado proceso estocástico $r$ y la definición de $R_t=e^{X_t}$ lo $dR/R$?

La única cosa que me ha funcionado hasta ahora es que el $dX=rdt$, pero no me considero 100% seguro de que cualquiera de los dos. He trabajado con exponenciales de la normal de variables aleatorias, pero exponenciales de las variables estocásticas es nuevo para mí.

Es $R$ aquí la expectativa? Sé que para un estándar de movimiento Browniano, el desplazamiento es cero y la varianza es igual al intervalo de tiempo, así que si puedo tomar la expectativa de un aumento exponencial de una normal llego $e^{\mu + \sigma^2/2}$ pero no sé si eso me ayuda.

2) Ahora, dado $dS/S=\mu dt +\theta dB$ donde $B$ es un movimiento Browniano y tanto $\mu, \theta$ son estocásticos. Si he de definir un nuevo proceso de $Y_t=log S_t$ lo $dY$?

Por lo tanto, si multiplico por $S$ I get

$dS=S\mu dt +S\theta dB$ y esto implica:

$S=S_0+\int_o^u S\mu dt+\int_0^u S\theta dB$

Así que, a continuación, $Y=log S$ le da: $Y=log(S_0)+\int_o^u log(S)\mu dt+\int_0^u log(S)\theta dB$

y de Ito me dice que:

$dY=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial B}dB+1/2\frac{\partial^2 f}{\partial B^2}dt$

De nuevo, yo soy nuevo en esto y todavía estoy trabajando para obtener un entendimiento subyacente de Ito fórmula y cálculo estocástico en general.

Answer 1

La fórmula de Itô estados que, bajo adecuadas condiciones de regularidad, para cada semi-martingala $U$, $V=G(U)$ es de nuevo un semi-martingala,que $$ \mathrm dV_t=\vec\nabla G(U_t)\cdot\mathrm dU_t+\tfrac12\vec\nabla^2 G(U_t)\cdot\mathrm d\langle U,U\rangle_t. $$ Un punto que vale la pena señalar aquí es que esto funciona para multi-dimensional de los procesos, por ejemplo, si $G:\mathbb R^n\to\mathbb R$, luego $$ \mathrm dV_t=\sum_{k=1}^n\partial_kG(U_t)\mathrm dU^{(k)}_t+\tfrac12\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n\partial^2_{k,\ell}G(U_t)\mathrm d\langle U^{(k)},U^{(\ell}\rangle_t. $$ Por ejemplo, si $B$ es unidimensional movimiento Browniano, a continuación, $U_t=(B_t,t)$ define dos dimensiones semi-martingala por lo tanto, para cada función regular $G:\mathbb R^2\to\mathbb R$, $$ \mathrm dG(B_t,t)=\partial_1G(B_t,t)\mathrm dB_t+\partial_2G(B_t,t)\mathrm dt+\tfrac12\partial^2_{11}G(B_t,t)\mathrm dt. $$ Al $G:\mathbb R\to\mathbb R$, la fórmula se reduce a $$ \mathrm dV_t=G'(U_t)\cdot\mathrm dU_t+\tfrac12G"(U_t)\cdot\mathrm d\langle U,U\rangle_t. $$

En el primer caso, $G(v)=\mathrm e^v$ $\mathrm dU_t=r_t\mathrm dt$ por lo tanto $\mathrm d\langle U,U\rangle_t=0$. Este rendimientos $\mathrm dV_t=$ $______$ y $\mathrm dV_t/V_t=$ $______$.

En el segundo caso, $G(v)=\log v$ $\mathrm dU_t=\theta U_t\mathrm dB_t+\mu U_t\mathrm dt$ por lo tanto $\mathrm d\langle U,U\rangle_t=\theta^2 U_t^2\mathrm dt$. Este rendimientos $\mathrm dV_t=$ $______$.