Esencial teoremas en grupo (co)homología

Question

Estoy tratando de llenar los vacíos en mi entendimiento de grupo (co)homología y me pregunto qué se considera el "debe saber" de conceptos y teoremas. Estoy pensando en cosas a lo largo de las líneas de

1. De Hopf de la fórmula - Si $G$ presentación $F/R$, $H_2(G)=R \cap [F,F]/[F,R]$
2. Si $G$ ha torsión, a continuación, $H_n(G)$ no tiene ninguna dimensión superior
3. $H_n = Tor_n$ , por lo que es la izquierda derivados functor de $\otimes$
4. $H^n = Ext ^n$ , por lo que es el derecho derivado functor de $Hom$
5. Si $G$ es discreto, entonces $H_n(G)=H_n(K(G,1))$

Answer 1

El Hochschild-Serre espectral de la secuencia

Answer 2

Cameron Gordon teorema que $H_2(G)$ generalmente no-computable a partir de una presentación a un grupo de G. OMI este debería ser el estándar anexa salvedad de Hopf de la fórmula.

Gordon, C. Algunos de incrustación de teoremas y undecidability preguntas para los grupos. Combinatoria y geométricas grupo de teoría (Edimburgo, 1993), 105--110, Londres Matemáticas. Soc. Conferencia Nota De La Ser., 204, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

Answer 3

1. Interpretación de cohomology de pequeño grado:

$H^1(G,A)$ = cruzó homomorphisms $G\to A$ modulo principal.

$H^2(G,A)$ = clases de equivalencia de las extensiones de G por A.

$H^3(G,Center(G))$ = obstrucciones a la existencia de extensiones de G por A.

2. Transferencia y sus aplicaciones: Si $G$ es finito entonces

1) $H^i(G,M)$ es una de torsión grupo aniquilado por la multiplicación por $|G|$.

2) la incorporación de la $p$-componente principal de $H^i(G,M)$ en un subgrupo de $H^i(P,M)$, para cualquier $p$-subgrupo de Sylow $P\subset G$.

3. En general, el color Marrón del libro "Cohomology de grupos", da una vista general decente de lo que es bueno saber.

Answer 4

Shapiro de la lema y la dimensión del cambio. Cohomology de grupos cíclicos y Herbrand cocientes.

Sería útil saber lo que usted necesita saber grupo cohomology.

Si usted tiene un interés en la pro-p o profinite grupos, hay un montón de cosas para agregar aquí (en particular, la interpretación de los rangos de $H^1(G,F_p)$ $H^2(G,F_p)$ cardinalidades mínima generador y el relator conjuntos, el valor de la copa del producto y Massey productos en la determinación de la estructura de estas relaciones, la relación con el Schur Multiplicador dado por Hopf de la fórmula anterior). Del mismo modo, si usted está interesado en el grupo cohomology como Galois cohomology, hay todo un campo de las matemáticas para agregar a la lista. Además de campo de la clase de teoría a través del grupo de cohomology a la Tate, hay un par de papeles (recuerdo una especialmente buena por Cornell y Rosen) que se derivan de una porción grande de un semestre de la teoría algebraica de números a partir de primaria grupo cohomology.

Answer 5

Tate teorema de la Tate cohomology (de acuerdo con el grupo de cohomology de $r\geq1$) de los grupos finitos de los estados, el siguiente y se utiliza mucho:

Deje $G$ un grupo finito y $M$ $G$- módulo y supongo que para todos los subgrupos $H$ de $G$, $H^1_T(H,M)=0$ y $H^2_T(H,M)$ es cíclico de orden $|H|$. A continuación, para todos los $r$ hay un isomorfismo $H^r_T(G,\mathbb{Z})\cong H^{r+2}_T(G,M)$.

Ver Milne notas en la Clase de teoría de campo " o la entrada de la wikipedia, por ejemplo. Esto es comúnmente aplicado en el caso de $G$ ser un grupo de Galois $Gal(L/K)$ $M=L^\times$ por ejemplo.