distancias en$l^2$

Question

Este problema fue planteado por mi amigo y dijo que tal vez quiera utilizar una teoría de conjunto combinatoria: ¿Puede darme ejemplo de un incontable$X \subseteq l^2$ (el espacio de Banach de secuencias sumables cuadradas de reales) de modo que dos puntos cualquiera en $X$ están a una distancia racional?

Answer 1

Deje$\sigma_n$ enumerar todas las secuencias finitas de$0, 1$. Corregir una bijection $ f: \ {\ sigma_n: n \ geq 1 \} \ a \ mathbb {N}$. Let $ e_n = \ langle 0, 0, \ dots, 1, 0, 0, \ dots \ rangle \ in l ^ 2$ (1 occurs at the nth position). For each $ x \ subseteq \ mathbb {N}$, let $ a_x = \ sum \ left (\ sqrt {3/2} \ right) 2 ^ {- n} e_ {f ( x \ upharpoonright n)} $. Revisa ahora.