Virasoro TT OPE en el libro de Polchinski

Question

Estoy tratando de entender la ecuación 2.2.11 del primer libro de Polchinski.

Está computando

$$:\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z): :\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z'):$$

Ahora entiendo por qué esta expresión se puede escribir como

$$\text{expression above}~=~:\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z)\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z'):\quad - 4\alpha'/2 (\partial\partial' \ln|z-z'|^2):\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z'): + 2\eta_\mu^\mu(-\alpha'/2 \partial\partial'\ln|z-z'|^2)^2.$$

Sin embargo, luego afirma que hay que hacer una expansión de Taylor dentro de la ordenación normal para obtener la OPE en forma estándar, es decir

$$\sim~ \frac{D\alpha'^2}{2(z-z')^4}-\frac{2\alpha'}{(z-z')^2}:\partial'X^\mu(z')\partial'X_\mu(z'): - \frac{2\alpha'}{z-z'}:\partial'^2X^\mu(z')\partial' X_\mu(z'): + \text{non-singular terms.}$$

No entiendo el último paso. ¿Cómo inserta exactamente la expansión de Taylor? ¿Podría alguien aclararlo? Por ejemplo, no veo dónde va el primer término. ¿Desaparece cuando hace la expansión de Taylor?

Answer 1

El primer término de tu segunda ecuación no contiene ninguna singularidad y, por tanto, forma parte de los "términos no singulares" al final de la última expresión. Para encontrar la forma final sólo tienes que realizar las derivadas de los términos del logaritmo y expandir de Taylor el término $:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!:$ alrededor de $z=z'$ . Las contribuciones singulares de los distintos términos vienen dadas entonces por \begin{align} :\partial X^\mu(z)\partial X_\mu(z)\partial' X^\nu(z')\partial' X_\nu(z')\!: \,\,&\sim\, 0 \\ -4\frac{\alpha'}{2} (\partial\partial' \ln|z-z'|^2) \,:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!: \,\,\,&\sim -\frac{2\alpha'}{(z-z')^2} \,:\!\partial X^\mu(z)\partial'X_\mu(z')\!:\\ &\qquad-\frac{2\alpha'}{z-z'} \,:\!\partial' \partial' X^\mu(z')\partial'X_\mu(z')\!: \\ 2\eta^\mu_{\,\,\mu}(-\frac{\alpha'}{2} \partial\partial'\ln|z-z'|^2)^2 &\sim \frac{D(\alpha')^2}{2(z-z')^4} \end{align}