Demostrando una simple igualdad entre integrales y un movimiento browniano

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente igualdad

$$ \int_0^T W(t) dt = \int_0^T (T-t) dW(t) $$

donde $W(t)$ es un estándar de movimiento browniano. Estoy tratando de hacer uso del hecho de que $dt = dW(t) dW(t)$ (informalmente?), tal que

$$ \int_0^T W(t) dt = \int_0^T W(t) dW(t) dW(t) $$

en el que caso de $W(t) dW(t) = (T-t)$ que no tiene ningún sentido para mí. También he intentado con la integración por partes, pero mi experiencia en la teoría de la medida es heurístico, en el mejor, así que tengo tiempo difícil imaginar lo que estoy buscando.

Podría alguien darme una pista en la dirección correcta? También he estado preguntando si podía hacer uso de itô el lema en este caso, pero sin suerte.

Answer 1

Sugerencia: Puesto que la integral estocástica es un mapeo lineal, su reclamo es equivalente a

$$\int_0^T W_t \, dt = \int_0^T T \, dW_t - \int_0^T t \, dW_t = T W_T - \int_0^T t \, dW_t.$$

Para demostrar esta identidad aplicar fórmula de Itô para la función (dependiente del tiempo)

$$f(t,x) := t \cdot x.$$